Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100672 / 98512
↖ ↑ ↗
← S 66.739902°
E 96.503907°		 ← 120.59 m → S 66.739902°
E 96.506653°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.740986°
E 96.503907°		 ← 120.58 m →
14 543 m²		 S 66.740986°
E 96.506653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768070220947266 y=0.751590728759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768070220947266 × 217)
    floor (0.768070220947266 × 131072)
    floor (100672.5)     		tx = 100672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751590728759766 × 217)
    floor (0.751590728759766 × 131072)
    floor (98512.5)     		ty = 98512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100672 / 98512 ti = "17/100672/98512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100672/98512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100672 ÷ 217
    100672 ÷ 131072     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98512 ÷ 217
    98512 ÷ 131072     		y = 0.7515869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7515869140625 × 2 - 1) × π
    -0.503173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58076720187097
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58076720187097))-π/2
    2×atan(0.205817134327007)-π/2
    2×0.202982649876656-π/2
    0.405965299753312-1.57079632675     		φ = -1.16483103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16483103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.739902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100672 KachelY 98512 1.68431091 -1.16483103 96.503907 -66.739902
    Oben rechts KachelX + 1 100673 KachelY 98512 1.68435884 -1.16483103 96.506653 -66.739902
    Unten links KachelX 100672 KachelY + 1 98513 1.68431091 -1.16484996 96.503907 -66.740986
    Unten rechts KachelX + 1 100673 KachelY + 1 98513 1.68435884 -1.16484996 96.506653 -66.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16483103--1.16484996) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16483103--1.16484996) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68435884) × cos(-1.16483103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394905783258251 × 6371000     		do = 120.589231634553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68435884) × cos(-1.16484996) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394888391787154 × 6371000     		du = 120.583920939634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16483103)-sin(-1.16484996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394905783258251-0.394888391787154)×R²
    abs(1.68435884-1.68431091)×1.7391471096917e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7391471096917e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7391471096917e-05×40589641000000     		ar = 14543.1064780738m²