Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100672 / 102079
↖ ↑ ↗
← S 70.317814°
E 96.503907°		 ← 102.85 m → S 70.317814°
E 96.506653°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.318738°
E 96.503907°		 ← 102.84 m →
10 575 m²		 S 70.318738°
E 96.506653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768070220947266 y=0.778804779052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768070220947266 × 217)
    floor (0.768070220947266 × 131072)
    floor (100672.5)     		tx = 100672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778804779052734 × 217)
    floor (0.778804779052734 × 131072)
    floor (102079.5)     		ty = 102079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100672 / 102079 ti = "17/100672/102079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100672/102079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100672 ÷ 217
    100672 ÷ 131072     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102079 ÷ 217
    102079 ÷ 131072     		y = 0.778800964355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778800964355469 × 2 - 1) × π
    -0.557601928710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75175812281571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75175812281571))-π/2
    2×atan(0.173468695925634)-π/2
    2×0.171759479708777-π/2
    0.343518959417554-1.57079632675     		φ = -1.22727737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22727737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.317814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100672 KachelY 102079 1.68431091 -1.22727737 96.503907 -70.317814
    Oben rechts KachelX + 1 100673 KachelY 102079 1.68435884 -1.22727737 96.506653 -70.317814
    Unten links KachelX 100672 KachelY + 1 102080 1.68431091 -1.22729351 96.503907 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 100673 KachelY + 1 102080 1.68435884 -1.22729351 96.506653 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22727737--1.22729351) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22727737--1.22729351) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68435884) × cos(-1.22727737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336802533437483 × 6371000     		do = 102.846705319676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68435884) × cos(-1.22729351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 102.842064711751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22727737)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336802533437483-0.336787336368205)×R²
    abs(1.68435884-1.68431091)×1.51970692775505e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51970692775505e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51970692775505e-05×40589641000000     		ar = 10575.276252024m²