Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100672 / 100019
↖ ↑ ↗
← S 68.321190°
E 96.503907°		 ← 112.80 m → S 68.321190°
E 96.506653°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.322204°
E 96.503907°		 ← 112.80 m →
12 727 m²		 S 68.322204°
E 96.506653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768070220947266 y=0.763088226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768070220947266 × 217)
    floor (0.768070220947266 × 131072)
    floor (100672.5)     		tx = 100672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763088226318359 × 217)
    floor (0.763088226318359 × 131072)
    floor (100019.5)     		ty = 100019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100672 / 100019 ti = "17/100672/100019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100672/100019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100672 ÷ 217
    100672 ÷ 131072     		x = 0.76806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100019 ÷ 217
    100019 ÷ 131072     		y = 0.763084411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    0.5361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68431091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763084411621094 × 2 - 1) × π
    -0.526168823242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.6530081095984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68431091} λ = 1.68431091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6530081095984))-π/2
    2×atan(0.19147306947991)-π/2
    2×0.189183306105565-π/2
    0.37836661221113-1.57079632675     		φ = -1.19242971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68431091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.503907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19242971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.321190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100672 KachelY 100019 1.68431091 -1.19242971 96.503907 -68.321190
    Oben rechts KachelX + 1 100673 KachelY 100019 1.68435884 -1.19242971 96.506653 -68.321190
    Unten links KachelX 100672 KachelY + 1 100020 1.68431091 -1.19244742 96.503907 -68.322204
    Unten rechts KachelX + 1 100673 KachelY + 1 100020 1.68435884 -1.19244742 96.506653 -68.322204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19242971--1.19244742) × R
    1.77099999998376e-05 × 6371000     		dl = 112.830409998965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19242971--1.19244742) × R
    1.77099999998376e-05 × 6371000     		dr = 112.830409998965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68431091-1.68435884) × cos(-1.19242971) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369403110071745 × 6371000     		do = 112.801683579891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68431091-1.68435884) × cos(-1.19244742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.369386652655367 × 6371000     		du = 112.796658109817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19242971)-sin(-1.19244742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369403110071745-0.369386652655367)×R²
    abs(1.68435884-1.68431091)×1.64574163782349e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.64574163782349e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.64574163782349e-05×40589641000000     		ar = 12727.1766942625m²