Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100671 / 98513
↖ ↑ ↗
← S 66.740986°
E 96.501160°		 ← 120.61 m → S 66.740986°
E 96.503907°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.742071°
E 96.501160°		 ← 120.60 m →
14 546 m²		 S 66.742071°
E 96.503907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768062591552734 y=0.751598358154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768062591552734 × 217)
    floor (0.768062591552734 × 131072)
    floor (100671.5)     		tx = 100671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751598358154297 × 217)
    floor (0.751598358154297 × 131072)
    floor (98513.5)     		ty = 98513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100671 / 98513 ti = "17/100671/98513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100671/98513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100671 ÷ 217
    100671 ÷ 131072     		x = 0.768058776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98513 ÷ 217
    98513 ÷ 131072     		y = 0.751594543457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768058776855469 × 2 - 1) × π
    0.536117553710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68426297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751594543457031 × 2 - 1) × π
    -0.503189086914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.58081513877059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68426297} λ = 1.68426297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58081513877059))-π/2
    2×atan(0.205807268328173)-π/2
    2×0.202973184805571-π/2
    0.405946369611143-1.57079632675     		φ = -1.16484996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68426297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.501160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16484996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.740986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100671 KachelY 98513 1.68426297 -1.16484996 96.501160 -66.740986
    Oben rechts KachelX + 1 100672 KachelY 98513 1.68431091 -1.16484996 96.503907 -66.740986
    Unten links KachelX 100671 KachelY + 1 98514 1.68426297 -1.16486889 96.501160 -66.742071
    Unten rechts KachelX + 1 100672 KachelY + 1 98514 1.68431091 -1.16486889 96.503907 -66.742071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16484996--1.16486889) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16484996--1.16486889) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68426297-1.68431091) × cos(-1.16484996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394888391787154 × 6371000     		do = 120.609079278922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68426297-1.68431091) × cos(-1.16486889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394871000174551 × 6371000     		du = 120.603767432773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16484996)-sin(-1.16486889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394888391787154-0.394871000174551)×R²
    abs(1.68431091-1.68426297)×1.73916126031681e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73916126031681e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73916126031681e-05×40589641000000     		ar = 14545.5000945159m²