Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100671 / 98142
↖ ↑ ↗
← S 66.335300°
E 96.501160°		 ← 122.59 m → S 66.335300°
E 96.503907°		 →
↑
122.58 m
↓
↑
122.58 m
↓
S 66.336403°
E 96.501160°		 ← 122.59 m →
15 027 m²		 S 66.336403°
E 96.503907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768062591552734 y=0.748767852783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768062591552734 × 217)
    floor (0.768062591552734 × 131072)
    floor (100671.5)     		tx = 100671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748767852783203 × 217)
    floor (0.748767852783203 × 131072)
    floor (98142.5)     		ty = 98142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100671 / 98142 ti = "17/100671/98142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100671/98142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100671 ÷ 217
    100671 ÷ 131072     		x = 0.768058776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98142 ÷ 217
    98142 ÷ 131072     		y = 0.748764038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768058776855469 × 2 - 1) × π
    0.536117553710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.68426297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748764038085938 × 2 - 1) × π
    -0.497528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56303054901155
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68426297} λ = 1.68426297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56303054901155))-π/2
    2×atan(0.209500207532561)-π/2
    2×0.20651346356652-π/2
    0.413026927133039-1.57079632675     		φ = -1.15776940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68426297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.501160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15776940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.335300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100671 KachelY 98142 1.68426297 -1.15776940 96.501160 -66.335300
    Oben rechts KachelX + 1 100672 KachelY 98142 1.68431091 -1.15776940 96.503907 -66.335300
    Unten links KachelX 100671 KachelY + 1 98143 1.68426297 -1.15778864 96.501160 -66.336403
    Unten rechts KachelX + 1 100672 KachelY + 1 98143 1.68431091 -1.15778864 96.503907 -66.336403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15776940--1.15778864) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dl = 122.578039999139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15776940--1.15778864) × R
    1.92399999998649e-05 × 6371000     		dr = 122.578039999139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68426297-1.68431091) × cos(-1.15776940) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401383555253091 × 6371000     		do = 122.592869386926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68426297-1.68431091) × cos(-1.15778864) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.401365933069209 × 6371000     		du = 122.587487118373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15776940)-sin(-1.15778864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.401383555253091-0.401365933069209)×R²
    abs(1.68431091-1.68426297)×1.76221838822377e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76221838822377e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76221838822377e-05×40589641000000     		ar = 15026.8637738323m²