Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10067 / 14333
↖ ↑ ↗
← N 70.618084°
W124.700318°		 ← 202.72 m → N 70.618084°
W124.694824°		 →
↑
202.73 m
↓
↑
202.73 m
↓
N 70.616261°
W124.700318°		 ← 202.74 m →
41 098 m²		 N 70.616261°
W124.694824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153617858886719 y=0.218711853027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153617858886719 × 216)
    floor (0.153617858886719 × 65536)
    floor (10067.5)     		tx = 10067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218711853027344 × 216)
    floor (0.218711853027344 × 65536)
    floor (14333.5)     		ty = 14333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10067 / 14333 ti = "16/10067/14333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10067/14333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10067 ÷ 216
    10067 ÷ 65536     		x = 0.153610229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14333 ÷ 216
    14333 ÷ 65536     		y = 0.218704223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153610229492188 × 2 - 1) × π
    -0.692779541015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17643112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218704223632812 × 2 - 1) × π
    0.562591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76743348899147
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17643112} λ = -2.17643112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76743348899147))-π/2
    2×atan(5.85580507066328)-π/2
    2×1.40165720132024-π/2
    2.80331440264048-1.57079632675     		φ = 1.23251808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17643112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.700318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23251808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.618084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10067 KachelY 14333 -2.17643112 1.23251808 -124.700318 70.618084
    Oben rechts KachelX + 1 10068 KachelY 14333 -2.17633524 1.23251808 -124.694824 70.618084
    Unten links KachelX 10067 KachelY + 1 14334 -2.17643112 1.23248626 -124.700318 70.616261
    Unten rechts KachelX + 1 10068 KachelY + 1 14334 -2.17633524 1.23248626 -124.694824 70.616261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23251808-1.23248626) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dl = 202.7252200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23251808-1.23248626) × R
    3.18200000000157e-05 × 6371000     		dr = 202.7252200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17643112--2.17633524) × cos(1.23251808) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.331863407775657 × 6371000     		do = 202.719253798409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17643112--2.17633524) × cos(1.23248626) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.331893424287114 × 6371000     		du = 202.737589428858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23251808)-sin(1.23248626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331863407775657-0.331893424287114)×R²
    abs(-2.17633524--2.17643112)×3.00165114571205e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.00165114571205e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.00165114571205e-05×40589641000000     		ar = 41098.1638751245m²