Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100669 / 98851
↖ ↑ ↗
← S 67.104862°
E 96.495666°		 ← 118.82 m → S 67.104862°
E 96.498413°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.105930°
E 96.495666°		 ← 118.82 m →
14 111 m²		 S 67.105930°
E 96.498413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98851 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768047332763672 y=0.754177093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768047332763672 × 217)
    floor (0.768047332763672 × 131072)
    floor (100669.5)     		tx = 100669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754177093505859 × 217)
    floor (0.754177093505859 × 131072)
    floor (98851.5)     		ty = 98851
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100669 / 98851 ti = "17/100669/98851"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100669/98851.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100669 ÷ 217
    100669 ÷ 131072     		x = 0.768043518066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98851 ÷ 217
    98851 ÷ 131072     		y = 0.754173278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768043518066406 × 2 - 1) × π
    0.536087036132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68416709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754173278808594 × 2 - 1) × π
    -0.508346557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.59701781084217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68416709} λ = 1.68416709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59701781084217))-π/2
    2×atan(0.20249951027325)-π/2
    2×0.199797775804334-π/2
    0.399595551608667-1.57079632675     		φ = -1.17120078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68416709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.495666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17120078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.104862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100669 KachelY 98851 1.68416709 -1.17120078 96.495666 -67.104862
    Oben rechts KachelX + 1 100670 KachelY 98851 1.68421503 -1.17120078 96.498413 -67.104862
    Unten links KachelX 100669 KachelY + 1 98852 1.68416709 -1.17121942 96.495666 -67.105930
    Unten rechts KachelX + 1 100670 KachelY + 1 98852 1.68421503 -1.17121942 96.498413 -67.105930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17120078--1.17121942) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dl = 118.755439999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17120078--1.17121942) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dr = 118.755439999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68416709-1.68421503) × cos(-1.17120078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389045784396695 × 6371000     		do = 118.824596593163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68416709-1.68421503) × cos(-1.17121942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389028612817757 × 6371000     		du = 118.819351950959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17120078)-sin(-1.17121942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389045784396695-0.389028612817757)×R²
    abs(1.68421503-1.68416709)×1.71715789376581e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71715789376581e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71715789376581e-05×40589641000000     		ar = 14110.7558367061m²