Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100668 / 98860
↖ ↑ ↗
← S 67.114476°
E 96.492920°		 ← 118.75 m → S 67.114476°
E 96.495666°		 →
↑
118.76 m
↓
↑
118.76 m
↓
S 67.115544°
E 96.492920°		 ← 118.75 m →
14 102 m²		 S 67.115544°
E 96.495666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768039703369141 y=0.754245758056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768039703369141 × 217)
    floor (0.768039703369141 × 131072)
    floor (100668.5)     		tx = 100668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754245758056641 × 217)
    floor (0.754245758056641 × 131072)
    floor (98860.5)     		ty = 98860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100668 / 98860 ti = "17/100668/98860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100668/98860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100668 ÷ 217
    100668 ÷ 131072     		x = 0.768035888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98860 ÷ 217
    98860 ÷ 131072     		y = 0.754241943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768035888671875 × 2 - 1) × π
    0.53607177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68411916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754241943359375 × 2 - 1) × π
    -0.50848388671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59744924293875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68411916} λ = 1.68411916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59744924293875))-π/2
    2×atan(0.202412164328253)-π/2
    2×0.199713869059744-π/2
    0.399427738119487-1.57079632675     		φ = -1.17136859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68411916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.492920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17136859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.114476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100668 KachelY 98860 1.68411916 -1.17136859 96.492920 -67.114476
    Oben rechts KachelX + 1 100669 KachelY 98860 1.68416709 -1.17136859 96.495666 -67.114476
    Unten links KachelX 100668 KachelY + 1 98861 1.68411916 -1.17138723 96.492920 -67.115544
    Unten rechts KachelX + 1 100669 KachelY + 1 98861 1.68416709 -1.17138723 96.495666 -67.115544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17136859--1.17138723) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dl = 118.755439999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17136859--1.17138723) × R
    1.86399999999587e-05 × 6371000     		dr = 118.755439999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68411916-1.68416709) × cos(-1.17136859) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38889118925653 × 6371000     		do = 118.752603000561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68411916-1.68416709) × cos(-1.17138723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.388874016460935 × 6371000     		du = 118.747359080837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17136859)-sin(-1.17138723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38889118925653-0.388874016460935)×R²
    abs(1.68416709-1.68411916)×1.71727955958212e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71727955958212e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71727955958212e-05×40589641000000     		ar = 14102.2062489695m²