Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100667 / 98845
↖ ↑ ↗
← S 67.098449°
E 96.490173°		 ← 118.86 m → S 67.098449°
E 96.492920°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.099518°
E 96.490173°		 ← 118.85 m →
14 130 m²		 S 67.099518°
E 96.492920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768032073974609 y=0.754131317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768032073974609 × 217)
    floor (0.768032073974609 × 131072)
    floor (100667.5)     		tx = 100667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754131317138672 × 217)
    floor (0.754131317138672 × 131072)
    floor (98845.5)     		ty = 98845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100667 / 98845 ti = "17/100667/98845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100667/98845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100667 ÷ 217
    100667 ÷ 131072     		x = 0.768028259277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98845 ÷ 217
    98845 ÷ 131072     		y = 0.754127502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.768028259277344 × 2 - 1) × π
    0.536056518554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.68407122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754127502441406 × 2 - 1) × π
    -0.508255004882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59673018944445
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68407122} λ = 1.68407122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59673018944445))-π/2
    2×atan(0.20255776184223)-π/2
    2×0.199853732163828-π/2
    0.399707464327656-1.57079632675     		φ = -1.17108886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68407122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.490173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17108886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.098449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100667 KachelY 98845 1.68407122 -1.17108886 96.490173 -67.098449
    Oben rechts KachelX + 1 100668 KachelY 98845 1.68411916 -1.17108886 96.492920 -67.098449
    Unten links KachelX 100667 KachelY + 1 98846 1.68407122 -1.17110752 96.490173 -67.099518
    Unten rechts KachelX + 1 100668 KachelY + 1 98846 1.68411916 -1.17110752 96.492920 -67.099518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17108886--1.17110752) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dl = 118.882860000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17108886--1.17110752) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dr = 118.882860000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68407122-1.68411916) × cos(-1.17108886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389148884725453 × 6371000     		do = 118.856086087368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68407122-1.68411916) × cos(-1.17110752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389131695534585 × 6371000     		du = 118.850836066028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17108886)-sin(-1.17110752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389148884725453-0.389131695534585)×R²
    abs(1.68411916-1.68407122)×1.71891908677946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71891908677946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71891908677946e-05×40589641000000     		ar = 14129.6393741064m²