Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100663 / 100056
↖ ↑ ↗
← S 68.358699°
E 96.479187°		 ← 112.64 m → S 68.358699°
E 96.481934°		 →
↑
112.64 m
↓
↑
112.64 m
↓
S 68.359712°
E 96.479187°		 ← 112.63 m →
12 687 m²		 S 68.359712°
E 96.481934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.768001556396484 y=0.763370513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.768001556396484 × 217)
    floor (0.768001556396484 × 131072)
    floor (100663.5)     		tx = 100663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763370513916016 × 217)
    floor (0.763370513916016 × 131072)
    floor (100056.5)     		ty = 100056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100663 / 100056 ti = "17/100663/100056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100663/100056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100663 ÷ 217
    100663 ÷ 131072     		x = 0.767997741699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100056 ÷ 217
    100056 ÷ 131072     		y = 0.76336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767997741699219 × 2 - 1) × π
    0.535995483398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68387947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76336669921875 × 2 - 1) × π
    -0.5267333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65478177488434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68387947} λ = 1.68387947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65478177488434))-π/2
    2×atan(0.191133761341866)-π/2
    2×0.188855977224224-π/2
    0.377711954448447-1.57079632675     		φ = -1.19308437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68387947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.479187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19308437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.358699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100663 KachelY 100056 1.68387947 -1.19308437 96.479187 -68.358699
    Oben rechts KachelX + 1 100664 KachelY 100056 1.68392741 -1.19308437 96.481934 -68.358699
    Unten links KachelX 100663 KachelY + 1 100057 1.68387947 -1.19310205 96.479187 -68.359712
    Unten rechts KachelX + 1 100664 KachelY + 1 100057 1.68392741 -1.19310205 96.481934 -68.359712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19308437--1.19310205) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dl = 112.639280000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19308437--1.19310205) × R
    1.76800000000199e-05 × 6371000     		dr = 112.639280000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68387947-1.68392741) × cos(-1.19308437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368794675547505 × 6371000     		do = 112.639386687083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68387947-1.68392741) × cos(-1.19310205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.368778241737401 × 6371000     		du = 112.634367378471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19308437)-sin(-1.19310205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368794675547505-0.368778241737401)×R²
    abs(1.68392741-1.68387947)×1.64338101039108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64338101039108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64338101039108e-05×40589641000000     		ar = 12687.3367306301m²