Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10066 / 2388
↖ ↑ ↗
← N 77.674122°
E 41.176758°		 ← 521.56 m → N 77.674122°
E 41.198730°		 →
↑
521.66 m
↓
↑
521.66 m
↓
N 77.669431°
E 41.176758°		 ← 521.75 m →
272 125 m²		 N 77.669431°
E 41.198730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614410400390625 y=0.145782470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614410400390625 × 214)
    floor (0.614410400390625 × 16384)
    floor (10066.5)     		tx = 10066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145782470703125 × 214)
    floor (0.145782470703125 × 16384)
    floor (2388.5)     		ty = 2388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10066 / 2388 ti = "14/10066/2388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10066/2388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10066 ÷ 214
    10066 ÷ 16384     		x = 0.6143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2388 ÷ 214
    2388 ÷ 16384     		y = 0.145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6143798828125 × 2 - 1) × π
    0.228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71867000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    0.70849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22580612315845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71867000} λ = 0.71867000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22580612315845))-π/2
    2×atan(9.26094525811588)-π/2
    2×1.46323275166081-π/2
    2.92646550332162-1.57079632675     		φ = 1.35566918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71867000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.176758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35566918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.674122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10066 KachelY 2388 0.71867000 1.35566918 41.176758 77.674122
    Oben rechts KachelX + 1 10067 KachelY 2388 0.71905349 1.35566918 41.198730 77.674122
    Unten links KachelX 10066 KachelY + 1 2389 0.71867000 1.35558730 41.176758 77.669431
    Unten rechts KachelX + 1 10067 KachelY + 1 2389 0.71905349 1.35558730 41.198730 77.669431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35566918-1.35558730) × R
    8.18799999999786e-05 × 6371000     		dl = 521.657479999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35566918-1.35558730) × R
    8.18799999999786e-05 × 6371000     		dr = 521.657479999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71867000-0.71905349) × cos(1.35566918) × R
    0.000383489999999931 × 0.213471645993141 × 6371000     		do = 521.557082735991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71867000-0.71905349) × cos(1.35558730) × R
    0.000383489999999931 × 0.213551637882857 × 6371000     		du = 521.752520104025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35566918)-sin(1.35558730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213471645993141-0.213551637882857)×R²
    abs(0.71905349-0.71867000)×7.9991889715969e-05×R²
    0.000383489999999931×7.9991889715969e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.9991889715969e-05×40589641000000     		ar = 272125.129291732m²