Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10066 / 2382
↖ ↑ ↗
← N 77.702234°
E 41.176758°		 ← 520.39 m → N 77.702234°
E 41.198730°		 →
↑
520.51 m
↓
↑
520.51 m
↓
N 77.697553°
E 41.176758°		 ← 520.58 m →
270 917 m²		 N 77.697553°
E 41.198730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614410400390625 y=0.145416259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614410400390625 × 214)
    floor (0.614410400390625 × 16384)
    floor (10066.5)     		tx = 10066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145416259765625 × 214)
    floor (0.145416259765625 × 16384)
    floor (2382.5)     		ty = 2382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10066 / 2382 ti = "14/10066/2382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10066/2382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10066 ÷ 214
    10066 ÷ 16384     		x = 0.6143798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2382 ÷ 214
    2382 ÷ 16384     		y = 0.1453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6143798828125 × 2 - 1) × π
    0.228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71867000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    0.709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22810709434021
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71867000} λ = 0.71867000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22810709434021))-π/2
    2×atan(9.28227896097588)-π/2
    2×1.46347807187274-π/2
    2.92695614374548-1.57079632675     		φ = 1.35615982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71867000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.176758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35615982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.702234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10066 KachelY 2382 0.71867000 1.35615982 41.176758 77.702234
    Oben rechts KachelX + 1 10067 KachelY 2382 0.71905349 1.35615982 41.198730 77.702234
    Unten links KachelX 10066 KachelY + 1 2383 0.71867000 1.35607812 41.176758 77.697553
    Unten rechts KachelX + 1 10067 KachelY + 1 2383 0.71905349 1.35607812 41.198730 77.697553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35615982-1.35607812) × R
    8.16999999999624e-05 × 6371000     		dl = 520.51069999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35615982-1.35607812) × R
    8.16999999999624e-05 × 6371000     		dr = 520.51069999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71867000-0.71905349) × cos(1.35615982) × R
    0.000383489999999931 × 0.212992289933251 × 6371000     		do = 520.385912920793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71867000-0.71905349) × cos(1.35607812) × R
    0.000383489999999931 × 0.213072114524309 × 6371000     		du = 520.580941542271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35615982)-sin(1.35607812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212992289933251-0.213072114524309)×R²
    abs(0.71905349-0.71867000)×7.98245910573758e-05×R²
    0.000383489999999931×7.98245910573758e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.98245910573758e-05×40589641000000     		ar = 270917.193196292m²