Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100653 / 97513
↖ ↑ ↗
← S 65.632224°
E 96.451721°		 ← 126.02 m → S 65.632224°
E 96.454468°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
S 65.633356°
E 96.451721°		 ← 126.01 m →
15 872 m²		 S 65.633356°
E 96.454468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767925262451172 y=0.743968963623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767925262451172 × 217)
    floor (0.767925262451172 × 131072)
    floor (100653.5)     		tx = 100653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743968963623047 × 217)
    floor (0.743968963623047 × 131072)
    floor (97513.5)     		ty = 97513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100653 / 97513 ti = "17/100653/97513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100653/97513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100653 ÷ 217
    100653 ÷ 131072     		x = 0.767921447753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97513 ÷ 217
    97513 ÷ 131072     		y = 0.743965148925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767921447753906 × 2 - 1) × π
    0.535842895507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68340010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743965148925781 × 2 - 1) × π
    -0.487930297851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.53287823915054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68340010} λ = 1.68340010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53287823915054))-π/2
    2×atan(0.215913321939903)-π/2
    2×0.21264896493322-π/2
    0.425297929866441-1.57079632675     		φ = -1.14549840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68340010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.451721°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14549840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.632224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100653 KachelY 97513 1.68340010 -1.14549840 96.451721 -65.632224
    Oben rechts KachelX + 1 100654 KachelY 97513 1.68344804 -1.14549840 96.454468 -65.632224
    Unten links KachelX 100653 KachelY + 1 97514 1.68340010 -1.14551817 96.451721 -65.633356
    Unten rechts KachelX + 1 100654 KachelY + 1 97514 1.68344804 -1.14551817 96.454468 -65.633356
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14549840--1.14551817) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dl = 125.954669999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14549840--1.14551817) × R
    1.97699999999745e-05 × 6371000     		dr = 125.954669999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68340010-1.68344804) × cos(-1.14549840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412592186290272 × 6371000     		do = 126.016273815841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68340010-1.68344804) × cos(-1.14551817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412574177403265 × 6371000     		du = 126.010773438201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14549840)-sin(-1.14551817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412592186290272-0.412574177403265)×R²
    abs(1.68344804-1.68340010)×1.80088870067596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80088870067596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80088870067596e-05×40589641000000     		ar = 15871.991784513m²