Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100650 / 98750
↖ ↑ ↗
← S 66.996697°
E 96.443481°		 ← 119.36 m → S 66.996697°
E 96.446228°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.997771°
E 96.443481°		 ← 119.35 m →
14 250 m²		 S 66.997771°
E 96.446228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767902374267578 y=0.753406524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767902374267578 × 217)
    floor (0.767902374267578 × 131072)
    floor (100650.5)     		tx = 100650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753406524658203 × 217)
    floor (0.753406524658203 × 131072)
    floor (98750.5)     		ty = 98750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100650 / 98750 ti = "17/100650/98750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100650/98750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100650 ÷ 217
    100650 ÷ 131072     		x = 0.767898559570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98750 ÷ 217
    98750 ÷ 131072     		y = 0.753402709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767898559570312 × 2 - 1) × π
    0.535797119140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68325629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753402709960938 × 2 - 1) × π
    -0.506805419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59217618398055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68325629} λ = 1.68325629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59217618398055))-π/2
    2×atan(0.203482314607734)-π/2
    2×0.200741685963637-π/2
    0.401483371927274-1.57079632675     		φ = -1.16931295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68325629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.443481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16931295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.996697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100650 KachelY 98750 1.68325629 -1.16931295 96.443481 -66.996697
    Oben rechts KachelX + 1 100651 KachelY 98750 1.68330423 -1.16931295 96.446228 -66.996697
    Unten links KachelX 100650 KachelY + 1 98751 1.68325629 -1.16933169 96.443481 -66.997771
    Unten rechts KachelX + 1 100651 KachelY + 1 98751 1.68330423 -1.16933169 96.446228 -66.997771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16931295--1.16933169) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16931295--1.16933169) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68325629-1.68330423) × cos(-1.16931295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390784193873488 × 6371000     		do = 119.355551594035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68325629-1.68330423) × cos(-1.16933169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390766943966066 × 6371000     		du = 119.350283028296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16931295)-sin(-1.16933169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390784193873488-0.390766943966066)×R²
    abs(1.68330423-1.68325629)×1.72499074211907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72499074211907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72499074211907e-05×40589641000000     		ar = 14249.8479545484m²