Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100649 / 98849
↖ ↑ ↗
← S 67.102724°
E 96.440735°		 ← 118.81 m → S 67.102724°
E 96.443481°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.103793°
E 96.440735°		 ← 118.81 m →
14 124 m²		 S 67.103793°
E 96.443481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767894744873047 y=0.754161834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767894744873047 × 217)
    floor (0.767894744873047 × 131072)
    floor (100649.5)     		tx = 100649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754161834716797 × 217)
    floor (0.754161834716797 × 131072)
    floor (98849.5)     		ty = 98849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100649 / 98849 ti = "17/100649/98849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100649/98849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100649 ÷ 217
    100649 ÷ 131072     		x = 0.767890930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98849 ÷ 217
    98849 ÷ 131072     		y = 0.754158020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767890930175781 × 2 - 1) × π
    0.535781860351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68320836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754158020019531 × 2 - 1) × π
    -0.508316040039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.59692193704293
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68320836} λ = 1.68320836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59692193704293))-π/2
    2×atan(0.20251892560134)-π/2
    2×0.199816426276856-π/2
    0.399632852553711-1.57079632675     		φ = -1.17116347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68320836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.440735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17116347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.102724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100649 KachelY 98849 1.68320836 -1.17116347 96.440735 -67.102724
    Oben rechts KachelX + 1 100650 KachelY 98849 1.68325629 -1.17116347 96.443481 -67.102724
    Unten links KachelX 100649 KachelY + 1 98850 1.68320836 -1.17118213 96.440735 -67.103793
    Unten rechts KachelX + 1 100650 KachelY + 1 98850 1.68325629 -1.17118213 96.443481 -67.103793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17116347--1.17118213) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dl = 118.882860000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17116347--1.17118213) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dr = 118.882860000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68320836-1.68325629) × cos(-1.17116347) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38908015478516 × 6371000     		do = 118.810305897983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68320836-1.68325629) × cos(-1.17118213) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38906296505257 × 6371000     		du = 118.805056806345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17116347)-sin(-1.17118213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38908015478516-0.38906296505257)×R²
    abs(1.68325629-1.68320836)×1.71897325898507e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.71897325898507e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.71897325898507e-05×40589641000000     		ar = 14124.196949685m²