Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100649 / 98755
↖ ↑ ↗
← S 67.002063°
E 96.440735°		 ← 119.30 m → S 67.002063°
E 96.443481°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
S 67.003136°
E 96.440735°		 ← 119.30 m →
14 236 m²		 S 67.003136°
E 96.443481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767894744873047 y=0.753444671630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767894744873047 × 217)
    floor (0.767894744873047 × 131072)
    floor (100649.5)     		tx = 100649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753444671630859 × 217)
    floor (0.753444671630859 × 131072)
    floor (98755.5)     		ty = 98755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100649 / 98755 ti = "17/100649/98755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100649/98755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100649 ÷ 217
    100649 ÷ 131072     		x = 0.767890930175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98755 ÷ 217
    98755 ÷ 131072     		y = 0.753440856933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767890930175781 × 2 - 1) × π
    0.535781860351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68320836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753440856933594 × 2 - 1) × π
    -0.506881713867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.59241586847865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68320836} λ = 1.68320836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59241586847865))-π/2
    2×atan(0.203433548895711)-π/2
    2×0.200694858673389-π/2
    0.401389717346778-1.57079632675     		φ = -1.16940661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68320836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.440735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16940661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.002063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100649 KachelY 98755 1.68320836 -1.16940661 96.440735 -67.002063
    Oben rechts KachelX + 1 100650 KachelY 98755 1.68325629 -1.16940661 96.443481 -67.002063
    Unten links KachelX 100649 KachelY + 1 98756 1.68320836 -1.16942534 96.440735 -67.003136
    Unten rechts KachelX + 1 100650 KachelY + 1 98756 1.68325629 -1.16942534 96.443481 -67.003136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16940661--1.16942534) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dl = 119.328830000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16940661--1.16942534) × R
    1.87300000000779e-05 × 6371000     		dr = 119.328830000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68320836-1.68325629) × cos(-1.16940661) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390697979784874 × 6371000     		do = 119.304328224081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68320836-1.68325629) × cos(-1.16942534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390680738396907 × 6371000     		du = 119.299063358851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16940661)-sin(-1.16942534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390697979784874-0.390680738396907)×R²
    abs(1.68325629-1.68320836)×1.72413879678812e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72413879678812e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72413879678812e-05×40589641000000     		ar = 14236.1317763203m²