Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100648 / 98749
↖ ↑ ↗
← S 66.995624°
E 96.437988°		 ← 119.36 m → S 66.995624°
E 96.440735°		 →
↑
119.33 m
↓
↑
119.33 m
↓
S 66.996697°
E 96.437988°		 ← 119.36 m →
14 243 m²		 S 66.996697°
E 96.440735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767887115478516 y=0.753398895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767887115478516 × 217)
    floor (0.767887115478516 × 131072)
    floor (100648.5)     		tx = 100648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753398895263672 × 217)
    floor (0.753398895263672 × 131072)
    floor (98749.5)     		ty = 98749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100648 / 98749 ti = "17/100648/98749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100648/98749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100648 ÷ 217
    100648 ÷ 131072     		x = 0.76788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98749 ÷ 217
    98749 ÷ 131072     		y = 0.753395080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76788330078125 × 2 - 1) × π
    0.5357666015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68316042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753395080566406 × 2 - 1) × π
    -0.506790161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.59212824708093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68316042} λ = 1.68316042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59212824708093))-π/2
    2×atan(0.203492069152823)-π/2
    2×0.200751052661518-π/2
    0.401502105323036-1.57079632675     		φ = -1.16929422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68316042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.437988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16929422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.995624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100648 KachelY 98749 1.68316042 -1.16929422 96.437988 -66.995624
    Oben rechts KachelX + 1 100649 KachelY 98749 1.68320836 -1.16929422 96.440735 -66.995624
    Unten links KachelX 100648 KachelY + 1 98750 1.68316042 -1.16931295 96.437988 -66.996697
    Unten rechts KachelX + 1 100649 KachelY + 1 98750 1.68320836 -1.16931295 96.440735 -66.996697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16929422--1.16931295) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dl = 119.328829999081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16929422--1.16931295) × R
    1.87299999998558e-05 × 6371000     		dr = 119.328829999081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68316042-1.68320836) × cos(-1.16929422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39080143443892 × 6371000     		do = 119.36081730649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68316042-1.68320836) × cos(-1.16931295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.390784193873488 × 6371000     		du = 119.355551594035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16929422)-sin(-1.16931295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39080143443892-0.390784193873488)×R²
    abs(1.68320836-1.68316042)×1.7240565432397e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7240565432397e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7240565432397e-05×40589641000000     		ar = 14242.8725017852m²