Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100646 / 98844
↖ ↑ ↗
← S 67.097381°
E 96.432495°		 ← 118.84 m → S 67.097381°
E 96.435242°		 →
↑
118.82 m
↓
↑
118.82 m
↓
S 67.098449°
E 96.432495°		 ← 118.83 m →
14 120 m²		 S 67.098449°
E 96.435242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767871856689453 y=0.754123687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767871856689453 × 217)
    floor (0.767871856689453 × 131072)
    floor (100646.5)     		tx = 100646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754123687744141 × 217)
    floor (0.754123687744141 × 131072)
    floor (98844.5)     		ty = 98844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100646 / 98844 ti = "17/100646/98844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100646/98844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100646 ÷ 217
    100646 ÷ 131072     		x = 0.767868041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98844 ÷ 217
    98844 ÷ 131072     		y = 0.754119873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767868041992188 × 2 - 1) × π
    0.535736083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68306455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754119873046875 × 2 - 1) × π
    -0.50823974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59668225254483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68306455} λ = 1.68306455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59668225254483))-π/2
    2×atan(0.202567472066064)-π/2
    2×0.199863059665227-π/2
    0.399726119330454-1.57079632675     		φ = -1.17107021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68306455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.432495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17107021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.097381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100646 KachelY 98844 1.68306455 -1.17107021 96.432495 -67.097381
    Oben rechts KachelX + 1 100647 KachelY 98844 1.68311248 -1.17107021 96.435242 -67.097381
    Unten links KachelX 100646 KachelY + 1 98845 1.68306455 -1.17108886 96.432495 -67.098449
    Unten rechts KachelX + 1 100647 KachelY + 1 98845 1.68311248 -1.17108886 96.435242 -67.098449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17107021--1.17108886) × R
    1.865000000012e-05 × 6371000     		dl = 118.819150000764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17107021--1.17108886) × R
    1.865000000012e-05 × 6371000     		dr = 118.819150000764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68306455-1.68311248) × cos(-1.17107021) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.389166064569145 × 6371000     		do = 118.836539483467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68306455-1.68311248) × cos(-1.17108886) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.389148884725453 × 6371000     		du = 118.831293411523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17107021)-sin(-1.17108886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389166064569145-0.389148884725453)×R²
    abs(1.68311248-1.68306455)×1.71798436917614e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.71798436917614e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.71798436917614e-05×40589641000000     		ar = 14119.7449440426m²