Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100643 / 98597
↖ ↑ ↗
← S 66.831924°
E 96.424255°		 ← 120.16 m → S 66.831924°
E 96.427002°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
S 66.833005°
E 96.424255°		 ← 120.16 m →
14 438 m²		 S 66.833005°
E 96.427002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767848968505859 y=0.752239227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767848968505859 × 217)
    floor (0.767848968505859 × 131072)
    floor (100643.5)     		tx = 100643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752239227294922 × 217)
    floor (0.752239227294922 × 131072)
    floor (98597.5)     		ty = 98597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100643 / 98597 ti = "17/100643/98597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100643/98597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100643 ÷ 217
    100643 ÷ 131072     		x = 0.767845153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98597 ÷ 217
    98597 ÷ 131072     		y = 0.752235412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767845153808594 × 2 - 1) × π
    0.535690307617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.68292073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752235412597656 × 2 - 1) × π
    -0.504470825195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.58484183833868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68292073} λ = 1.68292073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58484183833868))-π/2
    2×atan(0.204980210563772)-π/2
    2×0.202179605483164-π/2
    0.404359210966327-1.57079632675     		φ = -1.16643712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68292073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.424255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16643712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.831924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100643 KachelY 98597 1.68292073 -1.16643712 96.424255 -66.831924
    Oben rechts KachelX + 1 100644 KachelY 98597 1.68296867 -1.16643712 96.427002 -66.831924
    Unten links KachelX 100643 KachelY + 1 98598 1.68292073 -1.16645598 96.424255 -66.833005
    Unten rechts KachelX + 1 100644 KachelY + 1 98598 1.68296867 -1.16645598 96.427002 -66.833005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16643712--1.16645598) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16643712--1.16645598) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68292073-1.68296867) × cos(-1.16643712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393429724945001 × 6371000     		do = 120.163564879244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68292073-1.68296867) × cos(-1.16645598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39341238584552 × 6371000     		du = 120.158269071955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16643712)-sin(-1.16645598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393429724945001-0.39341238584552)×R²
    abs(1.68296867-1.68292073)×1.7339099480207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7339099480207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7339099480207e-05×40589641000000     		ar = 14438.1825111279m²