Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100641 / 98593
↖ ↑ ↗
← S 66.827601°
E 96.418762°		 ← 120.18 m → S 66.827601°
E 96.421509°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
S 66.828682°
E 96.418762°		 ← 120.18 m →
14 441 m²		 S 66.828682°
E 96.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767833709716797 y=0.752208709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767833709716797 × 217)
    floor (0.767833709716797 × 131072)
    floor (100641.5)     		tx = 100641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752208709716797 × 217)
    floor (0.752208709716797 × 131072)
    floor (98593.5)     		ty = 98593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100641 / 98593 ti = "17/100641/98593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100641/98593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100641 ÷ 217
    100641 ÷ 131072     		x = 0.767829895019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98593 ÷ 217
    98593 ÷ 131072     		y = 0.752204895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767829895019531 × 2 - 1) × π
    0.535659790039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68282486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752204895019531 × 2 - 1) × π
    -0.504409790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.5846500907402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68282486} λ = 1.68282486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5846500907402))-π/2
    2×atan(0.205019518795393)-π/2
    2×0.202217328410838-π/2
    0.404434656821675-1.57079632675     		φ = -1.16636167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68282486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.418762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16636167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.827601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100641 KachelY 98593 1.68282486 -1.16636167 96.418762 -66.827601
    Oben rechts KachelX + 1 100642 KachelY 98593 1.68287280 -1.16636167 96.421509 -66.827601
    Unten links KachelX 100641 KachelY + 1 98594 1.68282486 -1.16638053 96.418762 -66.828682
    Unten rechts KachelX + 1 100642 KachelY + 1 98594 1.68287280 -1.16638053 96.421509 -66.828682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16636167--1.16638053) × R
    1.8860000000176e-05 × 6371000     		dl = 120.157060001121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16636167--1.16638053) × R
    1.8860000000176e-05 × 6371000     		dr = 120.157060001121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68282486-1.68287280) × cos(-1.16636167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393499089136682 × 6371000     		do = 120.184750488818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68282486-1.68287280) × cos(-1.16638053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393481750597084 × 6371000     		du = 120.179454852531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16636167)-sin(-1.16638053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393499089136682-0.393481750597084)×R²
    abs(1.68287280-1.68282486)×1.73385395979553e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73385395979553e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73385395979553e-05×40589641000000     		ar = 14440.7281222693m²