Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100640 / 98080
↖ ↑ ↗
← S 66.266856°
E 96.416015°		 ← 122.93 m → S 66.266856°
E 96.418762°		 →
↑
122.90 m
↓
↑
122.90 m
↓
S 66.267962°
E 96.416015°		 ← 122.92 m →
15 107 m²		 S 66.267962°
E 96.418762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767826080322266 y=0.748294830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767826080322266 × 217)
    floor (0.767826080322266 × 131072)
    floor (100640.5)     		tx = 100640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748294830322266 × 217)
    floor (0.748294830322266 × 131072)
    floor (98080.5)     		ty = 98080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100640 / 98080 ti = "17/100640/98080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100640/98080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100640 ÷ 217
    100640 ÷ 131072     		x = 0.767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98080 ÷ 217
    98080 ÷ 131072     		y = 0.748291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767822265625 × 2 - 1) × π
    0.53564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68277692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748291015625 × 2 - 1) × π
    -0.49658203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.56005846123511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68277692} λ = 1.68277692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56005846123511))-π/2
    2×atan(0.210123786745587)-π/2
    2×0.207110749591083-π/2
    0.414221499182167-1.57079632675     		φ = -1.15657483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68277692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.416015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15657483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.266856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100640 KachelY 98080 1.68277692 -1.15657483 96.416015 -66.266856
    Oben rechts KachelX + 1 100641 KachelY 98080 1.68282486 -1.15657483 96.418762 -66.266856
    Unten links KachelX 100640 KachelY + 1 98081 1.68277692 -1.15659412 96.416015 -66.267962
    Unten rechts KachelX + 1 100641 KachelY + 1 98081 1.68282486 -1.15659412 96.418762 -66.267962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15657483--1.15659412) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dl = 122.896590000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15657483--1.15659412) × R
    1.92900000000051e-05 × 6371000     		dr = 122.896590000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68277692-1.68282486) × cos(-1.15657483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402477387288944 × 6371000     		do = 122.926953845912m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68277692-1.68282486) × cos(-1.15659412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402459728570756 × 6371000     		du = 122.921560418842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15657483)-sin(-1.15659412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402477387288944-0.402459728570756)×R²
    abs(1.68282486-1.68277692)×1.76587181880405e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76587181880405e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76587181880405e-05×40589641000000     		ar = 15106.9720304208m²