Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100634 / 99611
↖ ↑ ↗
← S 67.903454°
E 96.399536°		 ← 114.89 m → S 67.903454°
E 96.402283°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.904487°
E 96.399536°		 ← 114.89 m →
13 205 m²		 S 67.904487°
E 96.402283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767780303955078 y=0.759975433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767780303955078 × 217)
    floor (0.767780303955078 × 131072)
    floor (100634.5)     		tx = 100634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759975433349609 × 217)
    floor (0.759975433349609 × 131072)
    floor (99611.5)     		ty = 99611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100634 / 99611 ti = "17/100634/99611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100634/99611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100634 ÷ 217
    100634 ÷ 131072     		x = 0.767776489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99611 ÷ 217
    99611 ÷ 131072     		y = 0.759971618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767776489257812 × 2 - 1) × π
    0.535552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68248930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759971618652344 × 2 - 1) × π
    -0.519943237304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63344985455341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68248930} λ = 1.68248930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63344985455341))-π/2
    2×atan(0.195254810181419)-π/2
    2×0.192828741663266-π/2
    0.385657483326532-1.57079632675     		φ = -1.18513884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68248930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.399536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18513884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.903454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100634 KachelY 99611 1.68248930 -1.18513884 96.399536 -67.903454
    Oben rechts KachelX + 1 100635 KachelY 99611 1.68253724 -1.18513884 96.402283 -67.903454
    Unten links KachelX 100634 KachelY + 1 99612 1.68248930 -1.18515688 96.399536 -67.904487
    Unten rechts KachelX + 1 100635 KachelY + 1 99612 1.68253724 -1.18515688 96.402283 -67.904487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18513884--1.18515688) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18513884--1.18515688) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68248930-1.68253724) × cos(-1.18513884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376168413259594 × 6371000     		do = 114.891515984362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68248930-1.68253724) × cos(-1.18515688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376151698212803 × 6371000     		du = 114.886410778827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18513884)-sin(-1.18515688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376168413259594-0.376151698212803)×R²
    abs(1.68253724-1.68248930)×1.67150467914046e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67150467914046e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67150467914046e-05×40589641000000     		ar = 13204.5148464537m²