Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100632 / 98056
↖ ↑ ↗
← S 66.240312°
E 96.394043°		 ← 123.06 m → S 66.240312°
E 96.396790°		 →
↑
123.02 m
↓
↑
123.02 m
↓
S 66.241418°
E 96.394043°		 ← 123.05 m →
15 139 m²		 S 66.241418°
E 96.396790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767765045166016 y=0.748111724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767765045166016 × 217)
    floor (0.767765045166016 × 131072)
    floor (100632.5)     		tx = 100632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748111724853516 × 217)
    floor (0.748111724853516 × 131072)
    floor (98056.5)     		ty = 98056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100632 / 98056 ti = "17/100632/98056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100632/98056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100632 ÷ 217
    100632 ÷ 131072     		x = 0.76776123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98056 ÷ 217
    98056 ÷ 131072     		y = 0.74810791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76776123046875 × 2 - 1) × π
    0.5355224609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68239343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55890797564423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68239343} λ = 1.68239343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55890797564423))-π/2
    2×atan(0.210365670249603)-π/2
    2×0.207342393762554-π/2
    0.414684787525108-1.57079632675     		φ = -1.15611154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68239343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.394043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15611154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.240312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100632 KachelY 98056 1.68239343 -1.15611154 96.394043 -66.240312
    Oben rechts KachelX + 1 100633 KachelY 98056 1.68244137 -1.15611154 96.396790 -66.240312
    Unten links KachelX 100632 KachelY + 1 98057 1.68239343 -1.15613085 96.394043 -66.241418
    Unten rechts KachelX + 1 100633 KachelY + 1 98057 1.68244137 -1.15613085 96.396790 -66.241418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15611154--1.15613085) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dl = 123.024010000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15611154--1.15613085) × R
    1.93100000001056e-05 × 6371000     		dr = 123.024010000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68239343-1.68244137) × cos(-1.15611154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40290145361163 × 6371000     		do = 123.056474616327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68239343-1.68244137) × cos(-1.15613085) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.402883780187121 × 6371000     		du = 123.051076697568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15611154)-sin(-1.15613085))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40290145361163-0.402883780187121)×R²
    abs(1.68244137-1.68239343)×1.76734245091459e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76734245091459e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76734245091459e-05×40589641000000     		ar = 15138.5689275528m²