Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100631 / 99613
↖ ↑ ↗
← S 67.905520°
E 96.391296°		 ← 114.88 m → S 67.905520°
E 96.394043°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.906553°
E 96.391296°		 ← 114.88 m →
13 196 m²		 S 67.906553°
E 96.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767757415771484 y=0.759990692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767757415771484 × 217)
    floor (0.767757415771484 × 131072)
    floor (100631.5)     		tx = 100631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759990692138672 × 217)
    floor (0.759990692138672 × 131072)
    floor (99613.5)     		ty = 99613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100631 / 99613 ti = "17/100631/99613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100631/99613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100631 ÷ 217
    100631 ÷ 131072     		x = 0.767753601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99613 ÷ 217
    99613 ÷ 131072     		y = 0.759986877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767753601074219 × 2 - 1) × π
    0.535507202148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68234549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759986877441406 × 2 - 1) × π
    -0.519973754882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63354572835265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68234549} λ = 1.68234549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63354572835265))-π/2
    2×atan(0.195236091258289)-π/2
    2×0.192810710116858-π/2
    0.385621420233716-1.57079632675     		φ = -1.18517491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68234549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.391296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18517491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.905520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100631 KachelY 99613 1.68234549 -1.18517491 96.391296 -67.905520
    Oben rechts KachelX + 1 100632 KachelY 99613 1.68239343 -1.18517491 96.394043 -67.905520
    Unten links KachelX 100631 KachelY + 1 99614 1.68234549 -1.18519294 96.391296 -67.906553
    Unten rechts KachelX + 1 100632 KachelY + 1 99614 1.68239343 -1.18519294 96.394043 -67.906553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18517491--1.18519294) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dl = 114.869130000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18517491--1.18519294) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dr = 114.869130000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68234549-1.68239343) × cos(-1.18517491) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376134992309245 × 6371000     		do = 114.88130836587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68234549-1.68239343) × cos(-1.18519294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376118286283413 × 6371000     		du = 114.876205915568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18517491)-sin(-1.18519294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376134992309245-0.376118286283413)×R²
    abs(1.68239343-1.68234549)×1.67060258323692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67060258323692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67060258323692e-05×40589641000000     		ar = 13196.0228885811m²