Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100631 / 99594
↖ ↑ ↗
← S 67.885883°
E 96.391296°		 ← 114.98 m → S 67.885883°
E 96.394043°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.886917°
E 96.391296°		 ← 114.97 m →
13 214 m²		 S 67.886917°
E 96.394043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767757415771484 y=0.759845733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767757415771484 × 217)
    floor (0.767757415771484 × 131072)
    floor (100631.5)     		tx = 100631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759845733642578 × 217)
    floor (0.759845733642578 × 131072)
    floor (99594.5)     		ty = 99594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100631 / 99594 ti = "17/100631/99594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100631/99594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100631 ÷ 217
    100631 ÷ 131072     		x = 0.767753601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99594 ÷ 217
    99594 ÷ 131072     		y = 0.759841918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767753601074219 × 2 - 1) × π
    0.535507202148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.68234549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759841918945312 × 2 - 1) × π
    -0.519683837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63263492725987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68234549} λ = 1.68234549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63263492725987))-π/2
    2×atan(0.19541399350804)-π/2
    2×0.192982074494396-π/2
    0.385964148988792-1.57079632675     		φ = -1.18483218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68234549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.391296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18483218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.885883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100631 KachelY 99594 1.68234549 -1.18483218 96.391296 -67.885883
    Oben rechts KachelX + 1 100632 KachelY 99594 1.68239343 -1.18483218 96.394043 -67.885883
    Unten links KachelX 100631 KachelY + 1 99595 1.68234549 -1.18485022 96.391296 -67.886917
    Unten rechts KachelX + 1 100632 KachelY + 1 99595 1.68239343 -1.18485022 96.394043 -67.886917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18483218--1.18485022) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18483218--1.18485022) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68234549-1.68239343) × cos(-1.18483218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3764525317915 × 6371000     		do = 114.978293097217m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68234549-1.68239343) × cos(-1.18485022) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376435818826467 × 6371000     		du = 114.973188527504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18483218)-sin(-1.18485022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3764525317915-0.376435818826467)×R²
    abs(1.68239343-1.68234549)×1.67129650329167e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67129650329167e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67129650329167e-05×40589641000000     		ar = 13214.4884230756m²