Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100630 / 97520
↖ ↑ ↗
← S 65.640155°
E 96.388550°		 ← 125.95 m → S 65.640155°
E 96.391296°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.641288°
E 96.388550°		 ← 125.95 m →
15 872 m²		 S 65.641288°
E 96.391296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100630 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767749786376953 y=0.744022369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767749786376953 × 217)
    floor (0.767749786376953 × 131072)
    floor (100630.5)     		tx = 100630
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744022369384766 × 217)
    floor (0.744022369384766 × 131072)
    floor (97520.5)     		ty = 97520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100630 / 97520 ti = "17/100630/97520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100630/97520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100630 ÷ 217
    100630 ÷ 131072     		x = 0.767745971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97520 ÷ 217
    97520 ÷ 131072     		y = 0.7440185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767745971679688 × 2 - 1) × π
    0.535491943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68229756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.488037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53321379744788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68229756} λ = 1.68229756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53321379744788))-π/2
    2×atan(0.215840882587713)-π/2
    2×0.212579751145876-π/2
    0.425159502291752-1.57079632675     		φ = -1.14563682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68229756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.388550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14563682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.640155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100630 KachelY 97520 1.68229756 -1.14563682 96.388550 -65.640155
    Oben rechts KachelX + 1 100631 KachelY 97520 1.68234549 -1.14563682 96.391296 -65.640155
    Unten links KachelX 100630 KachelY + 1 97521 1.68229756 -1.14565660 96.388550 -65.641288
    Unten rechts KachelX + 1 100631 KachelY + 1 97521 1.68234549 -1.14565660 96.391296 -65.641288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14563682--1.14565660) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dl = 126.018379999451m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14563682--1.14565660) × R
    1.97799999999138e-05 × 6371000     		dr = 126.018379999451m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68229756-1.68234549) × cos(-1.14563682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.41246609336591 × 6371000     		do = 125.951483576461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68229756-1.68234549) × cos(-1.14565660) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412448074240205 × 6371000     		du = 125.945981219657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14563682)-sin(-1.14565660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41246609336591-0.412448074240205)×R²
    abs(1.68234549-1.68229756)×1.80191257053153e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80191257053153e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80191257053153e-05×40589641000000     		ar = 15871.8552203871m²