Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100629 / 98042
↖ ↑ ↗
← S 66.224815°
E 96.385803°		 ← 123.13 m → S 66.224815°
E 96.388550°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
S 66.225922°
E 96.385803°		 ← 123.13 m →
15 164 m²		 S 66.225922°
E 96.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767742156982422 y=0.748004913330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767742156982422 × 217)
    floor (0.767742156982422 × 131072)
    floor (100629.5)     		tx = 100629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748004913330078 × 217)
    floor (0.748004913330078 × 131072)
    floor (98042.5)     		ty = 98042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100629 / 98042 ti = "17/100629/98042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100629/98042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100629 ÷ 217
    100629 ÷ 131072     		x = 0.767738342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98042 ÷ 217
    98042 ÷ 131072     		y = 0.748001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767738342285156 × 2 - 1) × π
    0.535476684570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68224962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748001098632812 × 2 - 1) × π
    -0.496002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.55823685904955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68224962} λ = 1.68224962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55823685904955))-π/2
    2×atan(0.210506897526542)-π/2
    2×0.207477632216745-π/2
    0.41495526443349-1.57079632675     		φ = -1.15584106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68224962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.385803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15584106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.224815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100629 KachelY 98042 1.68224962 -1.15584106 96.385803 -66.224815
    Oben rechts KachelX + 1 100630 KachelY 98042 1.68229756 -1.15584106 96.388550 -66.224815
    Unten links KachelX 100629 KachelY + 1 98043 1.68224962 -1.15586039 96.385803 -66.225922
    Unten rechts KachelX + 1 100630 KachelY + 1 98043 1.68229756 -1.15586039 96.388550 -66.225922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15584106--1.15586039) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15584106--1.15586039) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68224962-1.68229756) × cos(-1.15584106) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403148993896179 × 6371000     		do = 123.132079791485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68224962-1.68229756) × cos(-1.15586039) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403131304273769 × 6371000     		du = 123.126676925471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15584106)-sin(-1.15586039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403148993896179-0.403131304273769)×R²
    abs(1.68229756-1.68224962)×1.76896224098888e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76896224098888e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76896224098888e-05×40589641000000     		ar = 15163.5590204792m²