Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100629 / 97521
↖ ↑ ↗
← S 65.641288°
E 96.385803°		 ← 125.97 m → S 65.641288°
E 96.388550°		 →
↑
125.95 m
↓
↑
125.95 m
↓
S 65.642421°
E 96.385803°		 ← 125.97 m →
15 866 m²		 S 65.642421°
E 96.388550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767742156982422 y=0.744029998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767742156982422 × 217)
    floor (0.767742156982422 × 131072)
    floor (100629.5)     		tx = 100629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744029998779297 × 217)
    floor (0.744029998779297 × 131072)
    floor (97521.5)     		ty = 97521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100629 / 97521 ti = "17/100629/97521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100629/97521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100629 ÷ 217
    100629 ÷ 131072     		x = 0.767738342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97521 ÷ 217
    97521 ÷ 131072     		y = 0.744026184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767738342285156 × 2 - 1) × π
    0.535476684570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68224962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744026184082031 × 2 - 1) × π
    -0.488052368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.5332617343475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68224962} λ = 1.68224962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5332617343475))-π/2
    2×atan(0.215830536092982)-π/2
    2×0.212569865188975-π/2
    0.425139730377951-1.57079632675     		φ = -1.14565660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68224962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.385803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14565660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.641288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100629 KachelY 97521 1.68224962 -1.14565660 96.385803 -65.641288
    Oben rechts KachelX + 1 100630 KachelY 97521 1.68229756 -1.14565660 96.388550 -65.641288
    Unten links KachelX 100629 KachelY + 1 97522 1.68224962 -1.14567637 96.385803 -65.642421
    Unten rechts KachelX + 1 100630 KachelY + 1 97522 1.68229756 -1.14567637 96.388550 -65.642421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14565660--1.14567637) × R
    1.97700000001966e-05 × 6371000     		dl = 125.954670001252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14565660--1.14567637) × R
    1.97700000001966e-05 × 6371000     		dr = 125.954670001252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68224962-1.68229756) × cos(-1.14565660) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.412448074240205 × 6371000     		do = 125.97225828689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68224962-1.68229756) × cos(-1.14567637) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.412430064063022 × 6371000     		du = 125.966757515197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14565660)-sin(-1.14567637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412448074240205-0.412430064063022)×R²
    abs(1.68229756-1.68224962)×1.80101771825592e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80101771825592e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80101771825592e-05×40589641000000     		ar = 15866.4477983382m²