Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100628 / 97532
↖ ↑ ↗
← S 65.653746°
E 96.383057°		 ← 125.91 m → S 65.653746°
E 96.385803°		 →
↑
125.89 m
↓
↑
125.89 m
↓
S 65.654878°
E 96.383057°		 ← 125.91 m →
15 851 m²		 S 65.654878°
E 96.385803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767734527587891 y=0.744113922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767734527587891 × 217)
    floor (0.767734527587891 × 131072)
    floor (100628.5)     		tx = 100628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744113922119141 × 217)
    floor (0.744113922119141 × 131072)
    floor (97532.5)     		ty = 97532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100628 / 97532 ti = "17/100628/97532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100628/97532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100628 ÷ 217
    100628 ÷ 131072     		x = 0.767730712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97532 ÷ 217
    97532 ÷ 131072     		y = 0.744110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767730712890625 × 2 - 1) × π
    0.53546142578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68220168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.48822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53378904024332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68220168} λ = 1.68220168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53378904024332))-π/2
    2×atan(0.215716757379531)-π/2
    2×0.212461148152397-π/2
    0.424922296304795-1.57079632675     		φ = -1.14587403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68220168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.383057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14587403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.653746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100628 KachelY 97532 1.68220168 -1.14587403 96.383057 -65.653746
    Oben rechts KachelX + 1 100629 KachelY 97532 1.68224962 -1.14587403 96.385803 -65.653746
    Unten links KachelX 100628 KachelY + 1 97533 1.68220168 -1.14589379 96.383057 -65.654878
    Unten rechts KachelX + 1 100629 KachelY + 1 97533 1.68224962 -1.14589379 96.385803 -65.654878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14587403--1.14589379) × R
    1.97599999998133e-05 × 6371000     		dl = 125.89095999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14587403--1.14589379) × R
    1.97599999998133e-05 × 6371000     		dr = 125.89095999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68220168-1.68224962) × cos(-1.14587403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412249989869219 × 6371000     		do = 125.911758220716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68220168-1.68224962) × cos(-1.14589379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412231987030345 × 6371000     		du = 125.906259690331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14587403)-sin(-1.14589379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412249989869219-0.412231987030345)×R²
    abs(1.68224962-1.68220168)×1.80028388742093e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80028388742093e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80028388742093e-05×40589641000000     		ar = 15850.8060102699m²