Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100621 / 97517
↖ ↑ ↗
← S 65.636756°
E 96.363830°		 ← 125.99 m → S 65.636756°
E 96.366577°		 →
↑
126.02 m
↓
↑
126.02 m
↓
S 65.637889°
E 96.363830°		 ← 125.99 m →
15 877 m²		 S 65.637889°
E 96.366577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767681121826172 y=0.743999481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767681121826172 × 217)
    floor (0.767681121826172 × 131072)
    floor (100621.5)     		tx = 100621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743999481201172 × 217)
    floor (0.743999481201172 × 131072)
    floor (97517.5)     		ty = 97517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100621 / 97517 ti = "17/100621/97517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100621/97517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100621 ÷ 217
    100621 ÷ 131072     		x = 0.767677307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97517 ÷ 217
    97517 ÷ 131072     		y = 0.743995666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767677307128906 × 2 - 1) × π
    0.535354614257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68186612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743995666503906 × 2 - 1) × π
    -0.487991333007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53306998674902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68186612} λ = 1.68186612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53306998674902))-π/2
    2×atan(0.215871925047946)-π/2
    2×0.212609411606967-π/2
    0.425218823213933-1.57079632675     		φ = -1.14557750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68186612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.363830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14557750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.636756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100621 KachelY 97517 1.68186612 -1.14557750 96.363830 -65.636756
    Oben rechts KachelX + 1 100622 KachelY 97517 1.68191406 -1.14557750 96.366577 -65.636756
    Unten links KachelX 100621 KachelY + 1 97518 1.68186612 -1.14559728 96.363830 -65.637889
    Unten rechts KachelX + 1 100622 KachelY + 1 97518 1.68191406 -1.14559728 96.366577 -65.637889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14557750--1.14559728) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dl = 126.018380000865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14557750--1.14559728) × R
    1.97800000001358e-05 × 6371000     		dr = 126.018380000865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68186612-1.68191406) × cos(-1.14557750) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412520131555768 × 6371000     		do = 125.994266445235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68186612-1.68191406) × cos(-1.14559728) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.412502112914051 × 6371000     		du = 125.988763088255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14557750)-sin(-1.14559728))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412520131555768-0.412502112914051)×R²
    abs(1.68191406-1.68186612)×1.801864171741e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.801864171741e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.801864171741e-05×40589641000000     		ar = 15877.2465854454m²