Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10062 / 2385
↖ ↑ ↗
← N 77.688186°
E 41.088867°		 ← 520.97 m → N 77.688186°
E 41.110840°		 →
↑
521.02 m
↓
↑
521.02 m
↓
N 77.683500°
E 41.088867°		 ← 521.17 m →
271 487 m²		 N 77.683500°
E 41.110840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2385 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614166259765625 y=0.145599365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614166259765625 × 214)
    floor (0.614166259765625 × 16384)
    floor (10062.5)     		tx = 10062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145599365234375 × 214)
    floor (0.145599365234375 × 16384)
    floor (2385.5)     		ty = 2385
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10062 / 2385 ti = "14/10062/2385"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10062/2385.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10062 ÷ 214
    10062 ÷ 16384     		x = 0.6141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2385 ÷ 214
    2385 ÷ 16384     		y = 0.14556884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6141357421875 × 2 - 1) × π
    0.228271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.71713602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14556884765625 × 2 - 1) × π
    0.7088623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22695660874933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71713602} λ = 0.71713602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22695660874933))-π/2
    2×atan(9.27160597351712)-π/2
    2×1.46335548070336-π/2
    2.92671096140672-1.57079632675     		φ = 1.35591463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71713602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.088867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35591463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.688186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10062 KachelY 2385 0.71713602 1.35591463 41.088867 77.688186
    Oben rechts KachelX + 1 10063 KachelY 2385 0.71751951 1.35591463 41.110840 77.688186
    Unten links KachelX 10062 KachelY + 1 2386 0.71713602 1.35583285 41.088867 77.683500
    Unten rechts KachelX + 1 10063 KachelY + 1 2386 0.71751951 1.35583285 41.110840 77.683500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35591463-1.35583285) × R
    8.17799999999202e-05 × 6371000     		dl = 521.020379999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35591463-1.35583285) × R
    8.17799999999202e-05 × 6371000     		dr = 521.020379999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71713602-0.71751951) × cos(1.35591463) × R
    0.000383490000000042 × 0.213231847369339 × 6371000     		do = 520.971203191849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71713602-0.71751951) × cos(1.35583285) × R
    0.000383490000000042 × 0.213311745849267 × 6371000     		du = 521.166412339706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35591463)-sin(1.35583285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213231847369339-0.213311745849267)×R²
    abs(0.71751951-0.71713602)×7.98984799274816e-05×R²
    0.000383490000000042×7.98984799274816e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.98984799274816e-05×40589641000000     		ar = 271487.468379943m²