Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100614 / 98050
↖ ↑ ↗
← S 66.233671°
E 96.344604°		 ← 123.09 m → S 66.233671°
E 96.347351°		 →
↑
123.09 m
↓
↑
123.09 m
↓
S 66.234778°
E 96.344604°		 ← 123.08 m →
15 150 m²		 S 66.234778°
E 96.347351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767627716064453 y=0.748065948486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767627716064453 × 217)
    floor (0.767627716064453 × 131072)
    floor (100614.5)     		tx = 100614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748065948486328 × 217)
    floor (0.748065948486328 × 131072)
    floor (98050.5)     		ty = 98050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100614 / 98050 ti = "17/100614/98050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100614/98050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100614 ÷ 217
    100614 ÷ 131072     		x = 0.767623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98050 ÷ 217
    98050 ÷ 131072     		y = 0.748062133789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767623901367188 × 2 - 1) × π
    0.535247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68153056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748062133789062 × 2 - 1) × π
    -0.496124267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55862035424651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68153056} λ = 1.68153056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55862035424651))-π/2
    2×atan(0.210426184619909)-π/2
    2×0.207400342929174-π/2
    0.414800685858349-1.57079632675     		φ = -1.15599564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68153056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.344604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15599564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.233671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100614 KachelY 98050 1.68153056 -1.15599564 96.344604 -66.233671
    Oben rechts KachelX + 1 100615 KachelY 98050 1.68157850 -1.15599564 96.347351 -66.233671
    Unten links KachelX 100614 KachelY + 1 98051 1.68153056 -1.15601496 96.344604 -66.234778
    Unten rechts KachelX + 1 100615 KachelY + 1 98051 1.68157850 -1.15601496 96.347351 -66.234778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15599564--1.15601496) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dl = 123.087720000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15599564--1.15601496) × R
    1.93200000000449e-05 × 6371000     		dr = 123.087720000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68153056-1.68157850) × cos(-1.15599564) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.403007527611442 × 6371000     		do = 123.088872346785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68153056-1.68157850) × cos(-1.15601496) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.402989845936693 × 6371000     		du = 123.08347190819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15599564)-sin(-1.15601496))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403007527611442-0.402989845936693)×R²
    abs(1.68157850-1.68153056)×1.76816747494701e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.76816747494701e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.76816747494701e-05×40589641000000     		ar = 15150.3962911186m²