Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100614 / 97542
↖ ↑ ↗
← S 65.665066°
E 96.344604°		 ← 125.86 m → S 65.665066°
E 96.347351°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.666198°
E 96.344604°		 ← 125.85 m →
15 836 m²		 S 65.666198°
E 96.347351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767627716064453 y=0.744190216064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767627716064453 × 217)
    floor (0.767627716064453 × 131072)
    floor (100614.5)     		tx = 100614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744190216064453 × 217)
    floor (0.744190216064453 × 131072)
    floor (97542.5)     		ty = 97542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100614 / 97542 ti = "17/100614/97542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100614/97542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100614 ÷ 217
    100614 ÷ 131072     		x = 0.767623901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97542 ÷ 217
    97542 ÷ 131072     		y = 0.744186401367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767623901367188 × 2 - 1) × π
    0.535247802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68153056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744186401367188 × 2 - 1) × π
    -0.488372802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53426840923952
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68153056} λ = 1.68153056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53426840923952))-π/2
    2×atan(0.215613374235399)-π/2
    2×0.212362359795172-π/2
    0.424724719590344-1.57079632675     		φ = -1.14607161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68153056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.344604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14607161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.665066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100614 KachelY 97542 1.68153056 -1.14607161 96.344604 -65.665066
    Oben rechts KachelX + 1 100615 KachelY 97542 1.68157850 -1.14607161 96.347351 -65.665066
    Unten links KachelX 100614 KachelY + 1 97543 1.68153056 -1.14609136 96.344604 -65.666198
    Unten rechts KachelX + 1 100615 KachelY + 1 97543 1.68157850 -1.14609136 96.347351 -65.666198
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14607161--1.14609136) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dl = 125.827250000612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14607161--1.14609136) × R
    1.97500000000961e-05 × 6371000     		dr = 125.827250000612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68153056-1.68157850) × cos(-1.14607161) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.412069972461203 × 6371000     		do = 125.856776271243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68153056-1.68157850) × cos(-1.14609136) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.41205197712482 × 6371000     		du = 125.851280032312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14607161)-sin(-1.14609136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412069972461203-0.41205197712482)×R²
    abs(1.68157850-1.68153056)×1.79953363829699e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.79953363829699e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.79953363829699e-05×40589641000000     		ar = 15835.8662644081m²