Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100613 / 99583
↖ ↑ ↗
← S 67.874507°
E 96.341858°		 ← 115.01 m → S 67.874507°
E 96.344604°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.875541°
E 96.341858°		 ← 115.01 m →
13 233 m²		 S 67.875541°
E 96.344604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767620086669922 y=0.759761810302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767620086669922 × 217)
    floor (0.767620086669922 × 131072)
    floor (100613.5)     		tx = 100613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759761810302734 × 217)
    floor (0.759761810302734 × 131072)
    floor (99583.5)     		ty = 99583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100613 / 99583 ti = "17/100613/99583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100613/99583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100613 ÷ 217
    100613 ÷ 131072     		x = 0.767616271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99583 ÷ 217
    99583 ÷ 131072     		y = 0.759757995605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767616271972656 × 2 - 1) × π
    0.535232543945312 × 3.1415926535     		Λ = 1.68148263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759757995605469 × 2 - 1) × π
    -0.519515991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63210762136405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68148263} λ = 1.68148263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63210762136405))-π/2
    2×atan(0.195517063631297)-π/2
    2×0.193081351561235-π/2
    0.386162703122469-1.57079632675     		φ = -1.18463362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68148263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.341858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18463362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.874507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100613 KachelY 99583 1.68148263 -1.18463362 96.341858 -67.874507
    Oben rechts KachelX + 1 100614 KachelY 99583 1.68153056 -1.18463362 96.344604 -67.874507
    Unten links KachelX 100613 KachelY + 1 99584 1.68148263 -1.18465168 96.341858 -67.875541
    Unten rechts KachelX + 1 100614 KachelY + 1 99584 1.68153056 -1.18465168 96.344604 -67.875541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18463362--1.18465168) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dl = 115.06025999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18463362--1.18465168) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dr = 115.06025999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68148263-1.68153056) × cos(-1.18463362) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.376636477483126 × 6371000     		do = 115.010479335834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68148263-1.68153056) × cos(-1.18465168) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.376619747339496 × 6371000     		du = 115.005370585213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18463362)-sin(-1.18465168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376636477483126-0.376619747339496)×R²
    abs(1.68153056-1.68148263)×1.67301436306833e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.67301436306833e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.67301436306833e-05×40589641000000     		ar = 13232.8417484789m²