Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100612 / 99585
↖ ↑ ↗
← S 67.876576°
E 96.339111°		 ← 115.02 m → S 67.876576°
E 96.341858°		 →
↑
115 m
↓
↑
115 m
↓
S 67.877610°
E 96.339111°		 ← 115.02 m →
13 227 m²		 S 67.877610°
E 96.341858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767612457275391 y=0.759777069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767612457275391 × 217)
    floor (0.767612457275391 × 131072)
    floor (100612.5)     		tx = 100612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759777069091797 × 217)
    floor (0.759777069091797 × 131072)
    floor (99585.5)     		ty = 99585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100612 / 99585 ti = "17/100612/99585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100612/99585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100612 ÷ 217
    100612 ÷ 131072     		x = 0.767608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99585 ÷ 217
    99585 ÷ 131072     		y = 0.759773254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767608642578125 × 2 - 1) × π
    0.53521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68143469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759773254394531 × 2 - 1) × π
    -0.519546508789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63220349516329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68143469} λ = 1.68143469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63220349516329))-π/2
    2×atan(0.195498319566137)-π/2
    2×0.19306329757812-π/2
    0.38612659515624-1.57079632675     		φ = -1.18466973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68143469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18466973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.876576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100612 KachelY 99585 1.68143469 -1.18466973 96.339111 -67.876576
    Oben rechts KachelX + 1 100613 KachelY 99585 1.68148263 -1.18466973 96.341858 -67.876576
    Unten links KachelX 100612 KachelY + 1 99586 1.68143469 -1.18468778 96.339111 -67.877610
    Unten rechts KachelX + 1 100613 KachelY + 1 99586 1.68148263 -1.18468778 96.341858 -67.877610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18466973--1.18468778) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dl = 114.996549999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18466973--1.18468778) × R
    1.80499999999917e-05 × 6371000     		dr = 114.996549999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68143469-1.68148263) × cos(-1.18466973) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376603026336773 × 6371000     		do = 115.024258005606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68143469-1.68148263) × cos(-1.18468778) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376586305211351 × 6371000     		du = 115.0191509435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18466973)-sin(-1.18468778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376603026336773-0.376586305211351)×R²
    abs(1.68148263-1.68143469)×1.67211254212263e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67211254212263e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67211254212263e-05×40589641000000     		ar = 13227.0991899444m²