Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100610 / 97538
↖ ↑ ↗
← S 65.660539°
E 96.333618°		 ← 125.85 m → S 65.660539°
E 96.336365°		 →
↑
125.83 m
↓
↑
125.83 m
↓
S 65.661670°
E 96.333618°		 ← 125.85 m →
15 835 m²		 S 65.661670°
E 96.336365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767597198486328 y=0.744159698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767597198486328 × 217)
    floor (0.767597198486328 × 131072)
    floor (100610.5)     		tx = 100610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744159698486328 × 217)
    floor (0.744159698486328 × 131072)
    floor (97538.5)     		ty = 97538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100610 / 97538 ti = "17/100610/97538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100610/97538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100610 ÷ 217
    100610 ÷ 131072     		x = 0.767593383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97538 ÷ 217
    97538 ÷ 131072     		y = 0.744155883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767593383789062 × 2 - 1) × π
    0.535186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68133882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744155883789062 × 2 - 1) × π
    -0.488311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53407666164104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68133882} λ = 1.68133882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53407666164104))-π/2
    2×atan(0.215654721546106)-π/2
    2×0.212401869960522-π/2
    0.424803739921045-1.57079632675     		φ = -1.14599259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68133882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.333618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14599259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.660539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100610 KachelY 97538 1.68133882 -1.14599259 96.333618 -65.660539
    Oben rechts KachelX + 1 100611 KachelY 97538 1.68138675 -1.14599259 96.336365 -65.660539
    Unten links KachelX 100610 KachelY + 1 97539 1.68133882 -1.14601234 96.333618 -65.661670
    Unten rechts KachelX + 1 100611 KachelY + 1 97539 1.68138675 -1.14601234 96.336365 -65.661670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14599259--1.14601234) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dl = 125.827249999197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14599259--1.14601234) × R
    1.9749999999874e-05 × 6371000     		dr = 125.827249999197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68133882-1.68138675) × cos(-1.14599259) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412141970421727 × 6371000     		do = 125.852508736256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68133882-1.68138675) × cos(-1.14601234) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.412123975728481 × 6371000     		du = 125.847013840197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14599259)-sin(-1.14601234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412141970421727-0.412123975728481)×R²
    abs(1.68138675-1.68133882)×1.79946932456487e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79946932456487e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79946932456487e-05×40589641000000     		ar = 15835.3293763258m²