Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10061 / 2379
↖ ↑ ↗
← N 77.716266°
E 41.066894°		 ← 519.81 m → N 77.716266°
E 41.088867°		 →
↑
519.87 m
↓
↑
519.87 m
↓
N 77.711590°
E 41.066894°		 ← 520.01 m →
270 289 m²		 N 77.711590°
E 41.088867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.614105224609375 y=0.145233154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.614105224609375 × 214)
    floor (0.614105224609375 × 16384)
    floor (10061.5)     		tx = 10061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145233154296875 × 214)
    floor (0.145233154296875 × 16384)
    floor (2379.5)     		ty = 2379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10061 / 2379 ti = "14/10061/2379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10061/2379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10061 ÷ 214
    10061 ÷ 16384     		x = 0.61407470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2379 ÷ 214
    2379 ÷ 16384     		y = 0.14520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61407470703125 × 2 - 1) × π
    0.2281494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.71675252
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14520263671875 × 2 - 1) × π
    0.7095947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22925757993109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.71675252} λ = 0.71675252}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22925757993109))-π/2
    2×atan(9.2929642346191)-π/2
    2×1.46360052531648-π/2
    2.92720105063295-1.57079632675     		φ = 1.35640472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.71675252} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 41.066894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35640472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.716266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10061 KachelY 2379 0.71675252 1.35640472 41.066894 77.716266
    Oben rechts KachelX + 1 10062 KachelY 2379 0.71713602 1.35640472 41.088867 77.716266
    Unten links KachelX 10061 KachelY + 1 2380 0.71675252 1.35632312 41.066894 77.711590
    Unten rechts KachelX + 1 10062 KachelY + 1 2380 0.71713602 1.35632312 41.088867 77.711590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35640472-1.35632312) × R
    8.1599999999904e-05 × 6371000     		dl = 519.873599999388m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35640472-1.35632312) × R
    8.1599999999904e-05 × 6371000     		dr = 519.873599999388m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.71675252-0.71713602) × cos(1.35640472) × R
    0.000383499999999981 × 0.212753003053216 × 6371000     		do = 519.814838170333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.71675252-0.71713602) × cos(1.35632312) × R
    0.000383499999999981 × 0.212832734195435 × 6371000     		du = 520.009643555895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35640472)-sin(1.35632312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212753003053216-0.212832734195435)×R²
    abs(0.71713602-0.71675252)×7.97311422182645e-05×R²
    0.000383499999999981×7.97311422182645e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.97311422182645e-05×40589641000000     		ar = 270288.648491447m²