Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100609 / 98563
↖ ↑ ↗
← S 66.795156°
E 96.330872°		 ← 120.34 m → S 66.795156°
E 96.333618°		 →
↑
120.35 m
↓
↑
120.35 m
↓
S 66.796239°
E 96.330872°		 ← 120.34 m →
14 483 m²		 S 66.796239°
E 96.333618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767589569091797 y=0.751979827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767589569091797 × 217)
    floor (0.767589569091797 × 131072)
    floor (100609.5)     		tx = 100609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751979827880859 × 217)
    floor (0.751979827880859 × 131072)
    floor (98563.5)     		ty = 98563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100609 / 98563 ti = "17/100609/98563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100609/98563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100609 ÷ 217
    100609 ÷ 131072     		x = 0.767585754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98563 ÷ 217
    98563 ÷ 131072     		y = 0.751976013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767585754394531 × 2 - 1) × π
    0.535171508789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68129088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751976013183594 × 2 - 1) × π
    -0.503952026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58321198375159
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68129088} λ = 1.68129088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58321198375159))-π/2
    2×atan(0.205314570905572)-π/2
    2×0.202500462413539-π/2
    0.405000924827078-1.57079632675     		φ = -1.16579540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68129088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.330872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16579540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.795156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100609 KachelY 98563 1.68129088 -1.16579540 96.330872 -66.795156
    Oben rechts KachelX + 1 100610 KachelY 98563 1.68133882 -1.16579540 96.333618 -66.795156
    Unten links KachelX 100609 KachelY + 1 98564 1.68129088 -1.16581429 96.330872 -66.796239
    Unten rechts KachelX + 1 100610 KachelY + 1 98564 1.68133882 -1.16581429 96.333618 -66.796239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16579540--1.16581429) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dl = 120.348189999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16579540--1.16581429) × R
    1.88899999999936e-05 × 6371000     		dr = 120.348189999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68129088-1.68133882) × cos(-1.16579540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394019612190022 × 6371000     		do = 120.343731627572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68129088-1.68133882) × cos(-1.16581429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39400225028234 × 6371000     		du = 120.33842885407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16579540)-sin(-1.16581429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394019612190022-0.39400225028234)×R²
    abs(1.68133882-1.68129088)×1.73619076827003e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73619076827003e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73619076827003e-05×40589641000000     		ar = 14482.8311902032m²