Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100606 / 97006
↖ ↑ ↗
← S 65.051285°
E 96.322632°		 ← 128.83 m → S 65.051285°
E 96.325379°		 →
↑
128.82 m
↓
↑
128.82 m
↓
S 65.052443°
E 96.322632°		 ← 128.83 m →
16 596 m²		 S 65.052443°
E 96.325379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767566680908203 y=0.740100860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767566680908203 × 217)
    floor (0.767566680908203 × 131072)
    floor (100606.5)     		tx = 100606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740100860595703 × 217)
    floor (0.740100860595703 × 131072)
    floor (97006.5)     		ty = 97006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100606 / 97006 ti = "17/100606/97006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100606/97006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100606 ÷ 217
    100606 ÷ 131072     		x = 0.767562866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97006 ÷ 217
    97006 ÷ 131072     		y = 0.740097045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767562866210938 × 2 - 1) × π
    0.535125732421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.68114707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740097045898438 × 2 - 1) × π
    -0.480194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50857423104317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68114707} λ = 1.68114707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50857423104317))-π/2
    2×atan(0.221225169189749)-π/2
    2×0.217718612616232-π/2
    0.435437225232463-1.57079632675     		φ = -1.13535910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68114707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.322632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13535910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.051285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100606 KachelY 97006 1.68114707 -1.13535910 96.322632 -65.051285
    Oben rechts KachelX + 1 100607 KachelY 97006 1.68119501 -1.13535910 96.325379 -65.051285
    Unten links KachelX 100606 KachelY + 1 97007 1.68114707 -1.13537932 96.322632 -65.052443
    Unten rechts KachelX + 1 100607 KachelY + 1 97007 1.68119501 -1.13537932 96.325379 -65.052443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13535910--1.13537932) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dl = 128.82161999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13535910--1.13537932) × R
    2.02199999999042e-05 × 6371000     		dr = 128.82161999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68114707-1.68119501) × cos(-1.13535910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42180686895606 × 6371000     		do = 128.830675087903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68114707-1.68119501) × cos(-1.13537932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.421788535684905 × 6371000     		du = 128.825075634994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13535910)-sin(-1.13537932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42180686895606-0.421788535684905)×R²
    abs(1.68119501-1.68114707)×1.83332711550799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.83332711550799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.83332711550799e-05×40589641000000     		ar = 16595.8156056847m²