Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100605 / 100021
↖ ↑ ↗
← S 68.323219°
E 96.319885°		 ← 112.82 m → S 68.323219°
E 96.322632°		 →
↑
112.83 m
↓
↑
112.83 m
↓
S 68.324234°
E 96.319885°		 ← 112.81 m →
12 729 m²		 S 68.324234°
E 96.322632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767559051513672 y=0.763103485107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767559051513672 × 217)
    floor (0.767559051513672 × 131072)
    floor (100605.5)     		tx = 100605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763103485107422 × 217)
    floor (0.763103485107422 × 131072)
    floor (100021.5)     		ty = 100021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100605 / 100021 ti = "17/100605/100021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100605/100021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100605 ÷ 217
    100605 ÷ 131072     		x = 0.767555236816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100021 ÷ 217
    100021 ÷ 131072     		y = 0.763099670410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767555236816406 × 2 - 1) × π
    0.535110473632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68109913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763099670410156 × 2 - 1) × π
    -0.526199340820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65310398339764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68109913} λ = 1.68109913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65310398339764))-π/2
    2×atan(0.191454713109249)-π/2
    2×0.18916559885477-π/2
    0.37833119770954-1.57079632675     		φ = -1.19246513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68109913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.319885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19246513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.323219°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100605 KachelY 100021 1.68109913 -1.19246513 96.319885 -68.323219
    Oben rechts KachelX + 1 100606 KachelY 100021 1.68114707 -1.19246513 96.322632 -68.323219
    Unten links KachelX 100605 KachelY + 1 100022 1.68109913 -1.19248284 96.319885 -68.324234
    Unten rechts KachelX + 1 100606 KachelY + 1 100022 1.68114707 -1.19248284 96.322632 -68.324234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19246513--1.19248284) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dl = 112.83041000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19246513--1.19248284) × R
    1.77100000000596e-05 × 6371000     		dr = 112.83041000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68109913-1.68114707) × cos(-1.19246513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369370195123133 × 6371000     		do = 112.815165179353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68109913-1.68114707) × cos(-1.19248284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369353737475048 × 6371000     		du = 112.810138590008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19246513)-sin(-1.19248284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369370195123133-0.369353737475048)×R²
    abs(1.68114707-1.68109913)×1.64576480851664e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64576480851664e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64576480851664e-05×40589641000000     		ar = 12728.6977656769m²