Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100603 / 98677
↖ ↑ ↗
← S 66.918218°
E 96.314392°		 ← 119.74 m → S 66.918218°
E 96.317139°		 →
↑
119.77 m
↓
↑
119.77 m
↓
S 66.919296°
E 96.314392°		 ← 119.74 m →
14 342 m²		 S 66.919296°
E 96.317139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767543792724609 y=0.752849578857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767543792724609 × 217)
    floor (0.767543792724609 × 131072)
    floor (100603.5)     		tx = 100603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752849578857422 × 217)
    floor (0.752849578857422 × 131072)
    floor (98677.5)     		ty = 98677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100603 / 98677 ti = "17/100603/98677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100603/98677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100603 ÷ 217
    100603 ÷ 131072     		x = 0.767539978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98677 ÷ 217
    98677 ÷ 131072     		y = 0.752845764160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767539978027344 × 2 - 1) × π
    0.535079956054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.68100326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752845764160156 × 2 - 1) × π
    -0.505691528320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.58867679030828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68100326} λ = 1.68100326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58867679030828))-π/2
    2×atan(0.204195626683852)-π/2
    2×0.201426542022858-π/2
    0.402853084045717-1.57079632675     		φ = -1.16794324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68100326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.314392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16794324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.918218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100603 KachelY 98677 1.68100326 -1.16794324 96.314392 -66.918218
    Oben rechts KachelX + 1 100604 KachelY 98677 1.68105120 -1.16794324 96.317139 -66.918218
    Unten links KachelX 100603 KachelY + 1 98678 1.68100326 -1.16796204 96.314392 -66.919296
    Unten rechts KachelX + 1 100604 KachelY + 1 98678 1.68105120 -1.16796204 96.317139 -66.919296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16794324--1.16796204) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dl = 119.7747999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16794324--1.16796204) × R
    1.87999999998745e-05 × 6371000     		dr = 119.7747999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68100326-1.68105120) × cos(-1.16794324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392044620750872 × 6371000     		do = 119.740518405776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68100326-1.68105120) × cos(-1.16796204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.392027325692986 × 6371000     		du = 119.735236049923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16794324)-sin(-1.16796204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392044620750872-0.392027325692986)×R²
    abs(1.68105120-1.68100326)×1.72950578863906e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.72950578863906e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.72950578863906e-05×40589641000000     		ar = 14341.5802976665m²