Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100602 / 98029
↖ ↑ ↗
← S 66.210416°
E 96.311645°		 ← 123.20 m → S 66.210416°
E 96.314392°		 →
↑
123.15 m
↓
↑
123.15 m
↓
S 66.211524°
E 96.311645°		 ← 123.20 m →
15 172 m²		 S 66.211524°
E 96.314392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767536163330078 y=0.747905731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767536163330078 × 217)
    floor (0.767536163330078 × 131072)
    floor (100602.5)     		tx = 100602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747905731201172 × 217)
    floor (0.747905731201172 × 131072)
    floor (98029.5)     		ty = 98029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100602 / 98029 ti = "17/100602/98029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100602/98029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100602 ÷ 217
    100602 ÷ 131072     		x = 0.767532348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98029 ÷ 217
    98029 ÷ 131072     		y = 0.747901916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767532348632812 × 2 - 1) × π
    0.535064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.68095532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747901916503906 × 2 - 1) × π
    -0.495803833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.55761367935448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68095532} λ = 1.68095532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55761367935448))-π/2
    2×atan(0.210638122034729)-π/2
    2×0.207603285174394-π/2
    0.415206570348789-1.57079632675     		φ = -1.15558976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68095532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.311645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15558976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.210416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100602 KachelY 98029 1.68095532 -1.15558976 96.311645 -66.210416
    Oben rechts KachelX + 1 100603 KachelY 98029 1.68100326 -1.15558976 96.314392 -66.210416
    Unten links KachelX 100602 KachelY + 1 98030 1.68095532 -1.15560909 96.311645 -66.211524
    Unten rechts KachelX + 1 100603 KachelY + 1 98030 1.68100326 -1.15560909 96.314392 -66.211524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15558976--1.15560909) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dl = 123.151429999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15558976--1.15560909) × R
    1.93299999999841e-05 × 6371000     		dr = 123.151429999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68095532-1.68100326) × cos(-1.15558976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403378954427539 × 6371000     		do = 123.202315656377m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68095532-1.68100326) × cos(-1.15560909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.403361266763993 × 6371000     		du = 123.196913388649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15558976)-sin(-1.15560909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403378954427539-0.403361266763993)×R²
    abs(1.68100326-1.68095532)×1.76876635460399e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76876635460399e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76876635460399e-05×40589641000000     		ar = 15172.2087045517m²