Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100601 / 98747
↖ ↑ ↗
← S 66.993477°
E 96.308899°		 ← 119.35 m → S 66.993477°
E 96.311645°		 →
↑
119.39 m
↓
↑
119.39 m
↓
S 66.994551°
E 96.308899°		 ← 119.34 m →
14 249 m²		 S 66.994551°
E 96.311645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767528533935547 y=0.753383636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767528533935547 × 217)
    floor (0.767528533935547 × 131072)
    floor (100601.5)     		tx = 100601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753383636474609 × 217)
    floor (0.753383636474609 × 131072)
    floor (98747.5)     		ty = 98747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100601 / 98747 ti = "17/100601/98747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100601/98747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100601 ÷ 217
    100601 ÷ 131072     		x = 0.767524719238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98747 ÷ 217
    98747 ÷ 131072     		y = 0.753379821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767524719238281 × 2 - 1) × π
    0.535049438476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.68090739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753379821777344 × 2 - 1) × π
    -0.506759643554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.59203237328169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68090739} λ = 1.68090739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59203237328169))-π/2
    2×atan(0.203511579645865)-π/2
    2×0.200769787297231-π/2
    0.401539574594463-1.57079632675     		φ = -1.16925675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68090739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.308899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16925675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.993477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100601 KachelY 98747 1.68090739 -1.16925675 96.308899 -66.993477
    Oben rechts KachelX + 1 100602 KachelY 98747 1.68095532 -1.16925675 96.311645 -66.993477
    Unten links KachelX 100601 KachelY + 1 98748 1.68090739 -1.16927549 96.308899 -66.994551
    Unten rechts KachelX + 1 100602 KachelY + 1 98748 1.68095532 -1.16927549 96.311645 -66.994551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16925675--1.16927549) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dl = 119.392540000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16925675--1.16927549) × R
    1.87400000000171e-05 × 6371000     		dr = 119.392540000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68090739-1.68095532) × cos(-1.16925675) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390835924363088 × 6371000     		do = 119.346451260512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68090739-1.68095532) × cos(-1.16927549) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.390818674867254 × 6371000     		du = 119.341183919448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16925675)-sin(-1.16927549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390835924363088-0.390818674867254)×R²
    abs(1.68095532-1.68090739)×1.72494958337599e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72494958337599e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72494958337599e-05×40589641000000     		ar = 14248.7615158778m²