Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1006 / 433
↖ ↑ ↗
← N 71.469124°
W  3.164063°		 ← 6 212.02 m → N 71.469124°
W  2.988281°		 →
↑
6 221.03 m
↓
↑
6 221.03 m
↓
N 71.413177°
W  3.164063°		 ← 6 230.11 m →
38 701 401 m²		 N 71.413177°
W  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.491455078125 y=0.211669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.491455078125 × 211)
    floor (0.491455078125 × 2048)
    floor (1006.5)     		tx = 1006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211669921875 × 211)
    floor (0.211669921875 × 2048)
    floor (433.5)     		ty = 433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1006 / 433 ti = "11/1006/433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1006/433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1006 ÷ 211
    1006 ÷ 2048     		x = 0.4912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 433 ÷ 211
    433 ÷ 2048     		y = 0.21142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4912109375 × 2 - 1) × π
    -0.017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.05522331
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21142578125 × 2 - 1) × π
    0.5771484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.813165291229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.05522331} λ = -0.05522331}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.813165291229))-π/2
    2×atan(6.12981942071165)-π/2
    2×1.40908392870443-π/2
    2.81816785740885-1.57079632675     		φ = 1.24737153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.05522331} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -3.164063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24737153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.469124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1006 KachelY 433 -0.05522331 1.24737153 -3.164063 71.469124
    Oben rechts KachelX + 1 1007 KachelY 433 -0.05215535 1.24737153 -2.988281 71.469124
    Unten links KachelX 1006 KachelY + 1 434 -0.05522331 1.24639507 -3.164063 71.413177
    Unten rechts KachelX + 1 1007 KachelY + 1 434 -0.05215535 1.24639507 -2.988281 71.413177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24737153-1.24639507) × R
    0.000976459999999957 × 6371000     		dl = 6221.02665999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24737153-1.24639507) × R
    0.000976459999999957 × 6371000     		dr = 6221.02665999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.05522331--0.05215535) × cos(1.24737153) × R
    0.00306795999999999 × 0.317815647867951 × 6371000     		do = 6212.01612305498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.05522331--0.05215535) × cos(1.24639507) × R
    0.00306795999999999 × 0.318741329222602 × 6371000     		du = 6230.10946596769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24737153)-sin(1.24639507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.317815647867951-0.318741329222602)×R²
    abs(-0.05215535--0.05522331)×0.000925681354650321×R²
    0.00306795999999999×0.000925681354650321×6371000²
    0.00306795999999999×0.000925681354650321×40589641000000     		ar = 38701400.5732561m²