Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100598 / 100026
↖ ↑ ↗
← S 68.328291°
E 96.300659°		 ← 112.79 m → S 68.328291°
E 96.303406°		 →
↑
112.77 m
↓
↑
112.77 m
↓
S 68.329305°
E 96.300659°		 ← 112.79 m →
12 719 m²		 S 68.329305°
E 96.303406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767505645751953 y=0.763141632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767505645751953 × 217)
    floor (0.767505645751953 × 131072)
    floor (100598.5)     		tx = 100598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763141632080078 × 217)
    floor (0.763141632080078 × 131072)
    floor (100026.5)     		ty = 100026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100598 / 100026 ti = "17/100598/100026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100598/100026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100598 ÷ 217
    100598 ÷ 131072     		x = 0.767501831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100026 ÷ 217
    100026 ÷ 131072     		y = 0.763137817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767501831054688 × 2 - 1) × π
    0.535003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68076357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763137817382812 × 2 - 1) × π
    -0.526275634765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65334366789574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68076357} λ = 1.68076357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65334366789574))-π/2
    2×atan(0.191408829881397)-π/2
    2×0.189121337629246-π/2
    0.378242675258492-1.57079632675     		φ = -1.19255365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68076357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.300659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19255365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.328291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100598 KachelY 100026 1.68076357 -1.19255365 96.300659 -68.328291
    Oben rechts KachelX + 1 100599 KachelY 100026 1.68081151 -1.19255365 96.303406 -68.328291
    Unten links KachelX 100598 KachelY + 1 100027 1.68076357 -1.19257135 96.300659 -68.329305
    Unten rechts KachelX + 1 100599 KachelY + 1 100027 1.68081151 -1.19257135 96.303406 -68.329305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19255365--1.19257135) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dl = 112.766699999352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19255365--1.19257135) × R
    1.76999999998984e-05 × 6371000     		dr = 112.766699999352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68076357-1.68081151) × cos(-1.19255365) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369287933603754 × 6371000     		do = 112.790040393923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68076357-1.68081151) × cos(-1.19257135) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369271484669904 × 6371000     		du = 112.78501646613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19255365)-sin(-1.19257135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369287933603754-0.369271484669904)×R²
    abs(1.68081151-1.68076357)×1.6448933849611e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6448933849611e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6448933849611e-05×40589641000000     		ar = 12718.6773825496m²