Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100594 / 99573
↖ ↑ ↗
← S 67.864160°
E 96.289673°		 ← 115.06 m → S 67.864160°
E 96.292419°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.865195°
E 96.289673°		 ← 115.06 m →
13 239 m²		 S 67.865195°
E 96.292419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767475128173828 y=0.759685516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767475128173828 × 217)
    floor (0.767475128173828 × 131072)
    floor (100594.5)     		tx = 100594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759685516357422 × 217)
    floor (0.759685516357422 × 131072)
    floor (99573.5)     		ty = 99573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100594 / 99573 ti = "17/100594/99573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100594/99573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100594 ÷ 217
    100594 ÷ 131072     		x = 0.767471313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99573 ÷ 217
    99573 ÷ 131072     		y = 0.759681701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767471313476562 × 2 - 1) × π
    0.534942626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.68057183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759681701660156 × 2 - 1) × π
    -0.519363403320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.63162825236785
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68057183} λ = 1.68057183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63162825236785))-π/2
    2×atan(0.195610810917806)-π/2
    2×0.193171645531885-π/2
    0.386343291063769-1.57079632675     		φ = -1.18445304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68057183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.289673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18445304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.864160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100594 KachelY 99573 1.68057183 -1.18445304 96.289673 -67.864160
    Oben rechts KachelX + 1 100595 KachelY 99573 1.68061976 -1.18445304 96.292419 -67.864160
    Unten links KachelX 100594 KachelY + 1 99574 1.68057183 -1.18447110 96.289673 -67.865195
    Unten rechts KachelX + 1 100595 KachelY + 1 99574 1.68061976 -1.18447110 96.292419 -67.865195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18445304--1.18447110) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dl = 115.060260000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18445304--1.18447110) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dr = 115.060260000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68057183-1.68061976) × cos(-1.18445304) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.376803753636191 × 6371000     		do = 115.061559121504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68057183-1.68061976) × cos(-1.18447110) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.37678702472112 × 6371000     		du = 115.056450746039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18445304)-sin(-1.18447110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376803753636191-0.37678702472112)×R²
    abs(1.68061976-1.68057183)×1.67289150703742e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.67289150703742e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.67289150703742e-05×40589641000000     		ar = 13238.719023515m²