Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100593 / 99572
↖ ↑ ↗
← S 67.863125°
E 96.286926°		 ← 115.09 m → S 67.863125°
E 96.289673°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.864160°
E 96.286926°		 ← 115.09 m →
13 249 m²		 S 67.864160°
E 96.289673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100593 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767467498779297 y=0.759677886962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767467498779297 × 217)
    floor (0.767467498779297 × 131072)
    floor (100593.5)     		tx = 100593
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759677886962891 × 217)
    floor (0.759677886962891 × 131072)
    floor (99572.5)     		ty = 99572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100593 / 99572 ti = "17/100593/99572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100593/99572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100593 ÷ 217
    100593 ÷ 131072     		x = 0.767463684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99572 ÷ 217
    99572 ÷ 131072     		y = 0.759674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767463684082031 × 2 - 1) × π
    0.534927368164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.68052389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.51934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63158031546823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68052389} λ = 1.68052389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63158031546823))-π/2
    2×atan(0.195620188118368)-π/2
    2×0.193180677134353-π/2
    0.386361354268705-1.57079632675     		φ = -1.18443497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68052389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.286926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18443497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.863125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100593 KachelY 99572 1.68052389 -1.18443497 96.286926 -67.863125
    Oben rechts KachelX + 1 100594 KachelY 99572 1.68057183 -1.18443497 96.289673 -67.863125
    Unten links KachelX 100593 KachelY + 1 99573 1.68052389 -1.18445304 96.286926 -67.864160
    Unten rechts KachelX + 1 100594 KachelY + 1 99573 1.68057183 -1.18445304 96.289673 -67.864160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18443497--1.18445304) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dl = 115.123969999173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18443497--1.18445304) × R
    1.80699999998701e-05 × 6371000     		dr = 115.123969999173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68052389-1.68057183) × cos(-1.18443497) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376820491691224 × 6371000     		do = 115.090677522414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68052389-1.68057183) × cos(-1.18445304) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.376803753636191 × 6371000     		du = 115.085565289569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18443497)-sin(-1.18445304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376820491691224-0.376803753636191)×R²
    abs(1.68057183-1.68052389)×1.67380550335494e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67380550335494e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67380550335494e-05×40589641000000     		ar = 13249.4014363717m²