Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100592 / 98608
↖ ↑ ↗
← S 66.843807°
E 96.284180°		 ← 120.11 m → S 66.843807°
E 96.286926°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.844887°
E 96.284180°		 ← 120.10 m →
14 424 m²		 S 66.844887°
E 96.286926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100592 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767459869384766 y=0.752323150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767459869384766 × 217)
    floor (0.767459869384766 × 131072)
    floor (100592.5)     		tx = 100592
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752323150634766 × 217)
    floor (0.752323150634766 × 131072)
    floor (98608.5)     		ty = 98608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100592 / 98608 ti = "17/100592/98608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100592/98608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100592 ÷ 217
    100592 ÷ 131072     		x = 0.7674560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98608 ÷ 217
    98608 ÷ 131072     		y = 0.7523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7674560546875 × 2 - 1) × π
    0.534912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68047595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5853691442345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68047595} λ = 1.68047595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5853691442345))-π/2
    2×atan(0.204872151782735)-π/2
    2×0.202075901714966-π/2
    0.404151803429932-1.57079632675     		φ = -1.16664452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68047595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.284180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16664452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.843807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100592 KachelY 98608 1.68047595 -1.16664452 96.284180 -66.843807
    Oben rechts KachelX + 1 100593 KachelY 98608 1.68052389 -1.16664452 96.286926 -66.843807
    Unten links KachelX 100592 KachelY + 1 98609 1.68047595 -1.16666337 96.284180 -66.844887
    Unten rechts KachelX + 1 100593 KachelY + 1 98609 1.68052389 -1.16666337 96.286926 -66.844887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16664452--1.16666337) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16664452--1.16666337) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68047595-1.68052389) × cos(-1.16664452) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393239042321398 × 6371000     		do = 120.105325497826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68047595-1.68052389) × cos(-1.16666337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.393221710877836 × 6371000     		du = 120.10003202885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16664452)-sin(-1.16666337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393239042321398-0.393221710877836)×R²
    abs(1.68052389-1.68047595)×1.73314435621408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73314435621408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73314435621408e-05×40589641000000     		ar = 14423.5330371633m²