Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100589 / 98701
↖ ↑ ↗
← S 66.944048°
E 96.275940°		 ← 119.61 m → S 66.944048°
E 96.278687°		 →
↑
119.58 m
↓
↑
119.58 m
↓
S 66.945123°
E 96.275940°		 ← 119.61 m →
14 304 m²		 S 66.945123°
E 96.278687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767436981201172 y=0.753032684326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767436981201172 × 217)
    floor (0.767436981201172 × 131072)
    floor (100589.5)     		tx = 100589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753032684326172 × 217)
    floor (0.753032684326172 × 131072)
    floor (98701.5)     		ty = 98701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100589 / 98701 ti = "17/100589/98701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100589/98701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100589 ÷ 217
    100589 ÷ 131072     		x = 0.767433166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98701 ÷ 217
    98701 ÷ 131072     		y = 0.753028869628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767433166503906 × 2 - 1) × π
    0.534866333007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68033214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753028869628906 × 2 - 1) × π
    -0.506057739257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.58982727589916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68033214} λ = 1.68033214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58982727589916))-π/2
    2×atan(0.203960837644232)-π/2
    2×0.2012011404902-π/2
    0.402402280980401-1.57079632675     		φ = -1.16839405
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68033214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.275940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16839405 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.944048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100589 KachelY 98701 1.68033214 -1.16839405 96.275940 -66.944048
    Oben rechts KachelX + 1 100590 KachelY 98701 1.68038008 -1.16839405 96.278687 -66.944048
    Unten links KachelX 100589 KachelY + 1 98702 1.68033214 -1.16841282 96.275940 -66.945123
    Unten rechts KachelX + 1 100590 KachelY + 1 98702 1.68038008 -1.16841282 96.278687 -66.945123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16839405--1.16841282) × R
    1.87699999998348e-05 × 6371000     		dl = 119.583669998947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16839405--1.16841282) × R
    1.87699999998348e-05 × 6371000     		dr = 119.583669998947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68033214-1.68038008) × cos(-1.16839405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391629859979862 × 6371000     		do = 119.613839790367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68033214-1.68038008) × cos(-1.16841282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.391612589205045 × 6371000     		du = 119.608564851189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16839405)-sin(-1.16841282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391629859979862-0.391612589205045)×R²
    abs(1.68038008-1.68033214)×1.7270774817002e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7270774817002e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7270774817002e-05×40589641000000     		ar = 14303.5465470672m²