Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100589 / 100112
↖ ↑ ↗
← S 68.415352°
E 96.275940°		 ← 112.36 m → S 68.415352°
E 96.278687°		 →
↑
112.38 m
↓
↑
112.38 m
↓
S 68.416363°
E 96.275940°		 ← 112.35 m →
12 627 m²		 S 68.416363°
E 96.278687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100589 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.767436981201172 y=0.763797760009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.767436981201172 × 217)
    floor (0.767436981201172 × 131072)
    floor (100589.5)     		tx = 100589
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763797760009766 × 217)
    floor (0.763797760009766 × 131072)
    floor (100112.5)     		ty = 100112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100589 / 100112 ti = "17/100589/100112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100589/100112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100589 ÷ 217
    100589 ÷ 131072     		x = 0.767433166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100112 ÷ 217
    100112 ÷ 131072     		y = 0.7637939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.767433166503906 × 2 - 1) × π
    0.534866333007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.68033214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7637939453125 × 2 - 1) × π
    -0.527587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65746624126306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68033214} λ = 1.68033214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65746624126306))-π/2
    2×atan(0.190621357259185)-π/2
    2×0.188361585923452-π/2
    0.376723171846905-1.57079632675     		φ = -1.19407315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68033214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.275940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19407315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.415352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100589 KachelY 100112 1.68033214 -1.19407315 96.275940 -68.415352
    Oben rechts KachelX + 1 100590 KachelY 100112 1.68038008 -1.19407315 96.278687 -68.415352
    Unten links KachelX 100589 KachelY + 1 100113 1.68033214 -1.19409079 96.275940 -68.416363
    Unten rechts KachelX + 1 100590 KachelY + 1 100113 1.68038008 -1.19409079 96.278687 -68.416363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19407315--1.19409079) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dl = 112.384440000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19407315--1.19409079) × R
    1.7640000000041e-05 × 6371000     		dr = 112.384440000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68033214-1.68038008) × cos(-1.19407315) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367875413640697 × 6371000     		do = 112.358620438942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68033214-1.68038008) × cos(-1.19409079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367859010586903 × 6371000     		du = 112.353610524099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19407315)-sin(-1.19409079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367875413640697-0.367859010586903)×R²
    abs(1.68038008-1.68033214)×1.64030537945226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64030537945226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64030537945226e-05×40589641000000     		ar = 12627.07911941m²